Esboce gráfico das funções a seguir.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}-x-2 ; & x \leq-2 \\\ x^{2}+x-2 ; & -2<x<2 \\\ \sqrt{x-2} ; & 2 \leq x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função por partes
f(x)= \begin{cases} -\,x-2, & x\le -2,\\\ x^{2}+x-2, & -2<x<2,\\\ \sqrt{x-2}, & x\ge2. \end{cases}
O conteúdo aqui é estudo de função definida por trechos: para cada intervalo vamos determinar a forma (reta, parábola, raiz quadrada), calcular pontos-chave (endpoints, vértice, raízes, continuidade/discont., comportamento assintótico) e depois unir tudo num único gráfico.

Passo 2

Analisando o primeiro trecho x\le -2:
  • É a reta \;f(x)=-x-2;, de coeficiente angular -1 e intercepto em (0,-2).
  • No ponto de união x=-2 temos
f(-2) = -(-2)-2 = 0.
  • Para x\to-\infty, f(x)\to +\infty.
    Logo, para x\le-2 desenhamos uma reta decrescente que passa por (-2,0) e cresce sem limite à esquerda.

Passo 3

Analisando o segundo trecho -2<x<2:
  • É a parábola \;f(x)=x^2+x-2, com a=1>0 (abre para cima).
  • As raízes são soluções de x^2+x-2=0, isto é
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\{-2,\,1\}.
O zero em x=-2 é limite do ramo anterior; o outro zero é (1,0).
  • O vértice ocorre em
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2},\quad f\bigl(-\tfrac12\bigr)=\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2-\tfrac12-2=-2{,}25.
  • Em x\to2^-,
f(2^-)=2^2+2-2=4.
Logo, entre (-2,0) e (2,4) temos a parábola passando pelo vértice \bigl(-\tfrac12,-2{,}25\bigr) e pelo ponto (1,0).

Passo 4

Analisando o terceiro trecho x\ge2:
  • É a função \;f(x)=\sqrt{x-2}, definida para x\ge2.
  • No ponto x=2, f(2)=0. Há um salto: f(2^-)=4 mas f(2)=0.
  • Para x\to+\infty, f(x)\sim\sqrt{x} cresce lentamente, concavidade virada para baixo.
    Desenhamos, a partir de (2,0), o ramo da raiz quadrada subindo suavemente.

Passo 5

Juntando tudo:
  • Para x\le-2: reta decrescente passando por (-2,0).
  • Em -2<x<2: parábola contínua que toca (-2,0), atinge mínimo em \bigl(-\tfrac12,-2{,}25\bigr), cruza em (1,0) e chega a (2,4) sem ponto sólido em x=2.
  • Em x=2: ponto sólido em (2,0) do ramo \sqrt{x-2}.
  • Para x>2: ramo de \sqrt{x-2} crescendo.

Resposta

A seguir o esboço qualitativo do gráfico:
  • Reta de equação y=-x-2 para x\le-2, passando por (-2,0).
  • Parábola y=x^2+x-2 em -2<x<2, com vértice \bigl(-\tfrac12,-2{,}25\bigr), zeros em (-2,0) e (1,0) e valor 4 em x\to2^-.
  • Salto de \bigl(2,4\bigr) para \bigl(2,0\bigr).
  • Ramo de y=\sqrt{x-2} para x\ge2, iniciando em (2,0) e subindo lentamente.

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