Esboce gráfico das funções a seguir.
g(x)=\left|(x-1)^{3}+1\right|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
g(x)=\bigl|(x-1)^{3}+1\bigr|.
O conteúdo envolve duas etapas: primeiro analisar a cúbica interna
h(x)=(x-1)^{3}+1
— que é a função y=x^3 deslocada 1 para a direita e 1 para cima — e depois aplicar a operação de valor absoluto, refletindo abaixo do eixo x tudo o que for negativo.

Passo 2

Analisando
h(x)=(x-1)^{3}+1,
vemos:
  1. Dominio \mathbb{R}, é estritamente crescente (derivada h'(x)=3(x-1)^2\ge0).
  2. Raiz: (x-1)^3+1=0\implies x=0. Logo h(0)=0.
  3. Ponto notável de inflexão: onde x-1=0, ou seja, em x=1, temos h(1)=1.
  4. Para x<0, h(x)<0; para x>0, h(x)>0.

Passo 3

Vamos anotar alguns pontos de referência de h:
h(-1)=(-2)^3+1=-7,\quad h(0)=0,\quad h(1)=1,\quad h(2)=(1)^3+1=2.
Esboço de h(x): curva cúbica suave cruzando o eixo x em (0,0), com inflexão em (1,1).

Passo 4

Agora definimos
g(x)=|h(x)|= \begin{cases} \;h(x),&x\ge0,\\\ \;-\,h(x),&x<0. \end{cases}
Isto significa:
  • Para x\ge0, o gráfico de g coincide com o de h.
  • Para x<0, refletimos verticalmente a parte negativa de h.

Passo 5

No trecho x<0, h(x)<0 de fato, então
g(x)=-\bigl((x-1)^3+1\bigr)=-(x-1)^3-1.
Alguns valores de g para x<0:
g(-1)=7,\quad g(-2)=15,\quad g(0^-)=0.
No trecho x\ge0, temos
g(x)=(x-1)^3+1,
com g(0)=0, g(1)=1, g(2)=2.

Resposta

O gráfico de g é composto por duas “meias-cúbicas” unidas em (0,0) formando um “V” suavemente arredondado:
  • Para x<0, a parte original da cúbica que ficava abaixo do eixo x foi refletida para cima, tendendo a +\infty quando x\to-\infty e passando por (-1,7).
  • Para x\ge0, mantém-se a forma da cúbica deslocada, cruzando o ponto de inflexão em (1,1) e subindo sem limites.
    Em x=0 há uma dobra (canto) pois a derivada à esquerda é -3 e à direita é +3.

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