esboce o gráfico de \mathbf{r}(t) e mostre a direção de crescimento de t.
\mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+2 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k},
indicando também a direção de crescimento de t. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em \mathbb{R}^{3}: vamos interpretar cada componente, projetar a curva no plano xy e posicioná-la no espaço, depois indicar para onde anda o ponto quando t cresce.

Passo 2

Separemos as componentes de \mathbf{r}(t):
x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=2.
Como z(t)=2 é constante, a curva vive no plano horizontal z=2. A projeção no plano xy satisfaz
y=x^{2},
que é uma parábola de vértice em (0,0) aberta para cima.

Passo 3

Para saber a orientação (seta de t crescente), calculemos a velocidade
\mathbf{r}'(t)=(1,\,2t,\,0).
Isso mostra que, conforme t aumenta, x cresce sempre (com velocidade 1), e y cresce se t>0 (pois 2t>0) e decresce se t<0 (pois 2t<0). Logo, o ponto percorre a parábola começando no ramo esquerdo (para t\to -\infty), passa pelo vértice (0,0,2) quando t=0, e segue para o ramo direito (para t\to+\infty).

Passo 4

No espaço, o gráfico é exatamente essa parábola levantada até z=2. Ao desenhar, colocamos um plano paralelo a xy em z=2 e tracejamos sobre ele a curva y=x^{2}. Em seguida, marcamos setas ao longo da curva, apontando da esquerda para a direita, mostrando que t cresce neste sentido.

Resposta

A curva é a parábola y=x^{2} no plano z=2, com vértice em (0,0,2), e à medida que t cresce o ponto vai do ramo esquerdo (valores negativos de x) passando pelo vértice até o ramo direito (valores positivos de x).

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