esboce o gráfico de
e mostre a direção de crescimento de
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
indicando também a direção de crescimento de
. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em
: vamos interpretar cada componente, projetar a curva no plano
e posicioná-la no espaço, depois indicar para onde anda o ponto quando
cresce.
Passo 2
Separemos as componentes de
:
Como
é constante, a curva vive no plano horizontal
. A projeção no plano
satisfaz
que é uma parábola de vértice em
aberta para cima.
Passo 3
Para saber a orientação (seta de
crescente), calculemos a velocidade
Isso mostra que, conforme
aumenta,
cresce sempre (com velocidade
), e
cresce se
(pois
) e decresce se
(pois
). Logo, o ponto percorre a parábola começando no ramo esquerdo (para
), passa pelo vértice
quando
, e segue para o ramo direito (para
).
Passo 4
No espaço, o gráfico é exatamente essa parábola levantada até
. Ao desenhar, colocamos um plano paralelo a
em
e tracejamos sobre ele a curva
. Em seguida, marcamos setas ao longo da curva, apontando da esquerda para a direita, mostrando que
cresce neste sentido.
Resposta
A curva é a parábola
no plano
, com vértice em
, e à medida que
cresce o ponto vai do ramo esquerdo (valores negativos de
) passando pelo vértice até o ramo direito (valores positivos de
).