esboce o gráfico de \mathbf{r}(t) e mostre a direção de crescimento de t.
\mathbf{r}(t)=(1+\cos t) \mathbf{i}+(3-\operatorname{sen} t) \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t) = (1+\cos t)\,\mathbf{i} + (3-\sin t)\,\mathbf{j},
com 0 \le t \le 2\pi, e pede para esboçar seu gráfico e indicar a direção de crescimento de t.
O conteúdo é curvas paramétricas e reconhecimento de formas geométricas (neste caso, uma circunferência).

Passo 2

Reescrevemos em coordenadas x e y:
x = 1 + \cos t,\quad y = 3 - \sin t.
Logo
x - 1 = \cos t,\quad y - 3 = -\sin t
e, somando os quadrados, obtemos a equação cartesiana
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1.
Isto mostra que a curva é uma circunferência de centro (1,3) e raio 1.

Passo 3

Para entender a orientação, calculamos o vetor tangente:
\mathbf{r}'(t) = \bigl(-\sin t,\,-\cos t\bigr).
Em t=0 temos \mathbf{r}(0)=(2,3) e \mathbf{r}'(0) = (0,-1), ou seja, partindo do ponto (2,3) o movimento inicial é para baixo.
Alguns pontos-chave:
\begin{aligned} t=0: &\;(2,3),\\\ t=\tfrac\pi2: &\;(1,2),\\\ t=\pi: &\;(0,3),\\\ t=\tfrac{3\pi}2: &\;(1,4),\\\ t=2\pi: &\;(2,3)\text{ (retorno).} \end{aligned}
Isso mostra que t cresce no sentido horário ao contornar a circunferência.

Passo 4

No esboço, marque o centro (1,3), desenhe uma circunferência de raio 1, coloque os pontos (2,3),(1,2),(0,3),(1,4) e trace uma seta que vai de (2,3) para baixo, depois para a esquerda, para cima e volta a (2,3).

Resposta

A curva é a circunferência de centro (1,3) e raio 1, percorrida no sentido horário à medida que t cresce de 0 a 2\pi.

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