Esboce o gráfico da seguinte função e use-o para determinar os valores de a\) para os quais \(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\) não existe: \(f(x)= \begin{cases}2+\operatorname{sen} x & \text { se } x<0 \\\ \cos x & \text { se } 0 \leq x \leq \pi \\\ \operatorname{sen} x & \text { se } x>\pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} 2+\sin x & \text{se } x<0,\\[4pt] \cos x & \text{se } 0\le x\le \pi,\\[4pt] \sin x & \text{se } x>\pi. \end{cases}
O que se pede: esboçar o gráfico de f e usar esse gráfico (ou o cálculo dos limites laterais) para determinar os valores de a para os quais \lim_{x\to a} f(x) não existe.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<0 a função é 2+\sin x.
  • Para 0\le x\le \pi a função é \cos x.
  • Para x>\pi a função é \sin x.
  • Precisamos estudar os limites em todos os pontos a. Como \sin e \cos são funções contínuas, pontos problemáticos só podem ocorrer nas fronteiras entre os ramos: em x=0 e em x=\pi. A resolução efetiva começará no Passo 2.]

Passo 2

Conceito usado (aula rápida e prática). Para que \lim_{x\to a} f(x) exista é necessário e suficiente que existam e sejam iguais os limites lateral esquerdo e direito:
\lim_{x\to a^-} f(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to a^+} f(x).
Se esses dois valores existirem e forem iguais, então \lim_{x\to a} f(x) existe e vale esse número. Se forem diferentes (ou algum não existir), então \lim_{x\to a} f(x) não existe. Vou aplicar isso nos pontos candidatos a=0 e a=\pi e verificar rapidamente os outros pontos.

Passo 3

Análise dos pontos interiores dos ramos (por que não há problema aí). As funções \sin x e \cos x são contínuas em toda a reta, logo:
  • Para qualquer a<0 a função coincide localmente com 2+\sin x, e como 2+\sin x é contínua em a temos \lim_{x\to a} f(x)=2+\sin a.
  • Para qualquer a com 0<a<\pi a função coincide localmente com \cos x, contínua, então \lim_{x\to a} f(x)=\cos a.
  • Para qualquer a>\pi a função coincide localmente com \sin x, contínua, então \lim_{x\to a} f(x)=\sin a.
    Conclusão: possíveis falhas de existência do limite só podem ocorrer nas fronteiras x=0 ou x=\pi. Vou calcular os limites laterais nesses pontos.

Passo 4

Estudo em a=0. Calcular os limites laterais usando os ramos dados.
  • Limite pela esquerda: para x\to 0^- usamos o ramo 2+\sin x. Como \sin x é contínua,
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (2+\sin x)=2+\sin 0=2+0=2.
  • Limite pela direita: para x\to 0^+ usamos o ramo \cos x. Como \cos x é contínua,
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} \cos x=\cos 0=1.
Comparando: 2\neq 1, logo os limites laterais são diferentes e portanto
\lim_{x\to 0} f(x)\\ \text{não existe}.ã
Observação sobre o valor da função em 0: f(0)=\cos 0=1 (valor do ramo central), mas isso não muda o fato de que o limite não existe porque o limite pela esquerda é 2.

Passo 5

Estudo em a=\pi. Calcular os limites laterais.
  • Limite pela esquerda: para x\to \pi^- usamos \cos x, então
\lim_{x\to \pi^-} f(x)=\cos \pi=-1.
  • Limite pela direita: para x\to \pi^+ usamos \sin x, então
\lim_{x\to \pi^+} f(x)=\sin \pi=0.
Comparando: -1\neq 0, logo os limites laterais são diferentes e
\lim_{x\to \pi} f(x)\\ \text{não existe}.ã
Observação: o valor da função em \pi é f(\pi)=\cos\pi=-1 (valor do ramo central), mas novamente isso não faz o limite existir, porque o limite à direita é 0.

Passo 6

Como esboçar o gráfico (instrução prática passo a passo para desenhar rápido na prova):
  1. Ramo 1 ( x<0): desenhe y=2+\sin x. É a curva sinusoide usual com amplitude 1 e período 2\pi, mas deslocada para cima em 2 unidades. Perto de x=0 ela vale 2+\sin 0=2; em x=-\tfrac{\pi}{2} vale 2-1=1; em x=-\pi vale 2+0=2. Desenhe a onda para a esquerda até x=0 e coloque um círculo aberto em (0,2) porque esse ramo não inclui x=0.
  2. Ramo 2 ( 0\le x\le \pi): desenhe y=\cos x no intervalo de 0 a \pi. Pontos-chave: (0,1), (\tfrac{\pi}{2},0), (\pi,-1). Esse ramo inclui as extremidades, então marque pontos preenchidos em (0,1) e (\pi,-1).
  3. Ramo 3 ( x>\pi): desenhe y=\sin x para x>\pi. Em x=\pi a função \sin vale 0, então coloque um círculo aberto em (\pi,0) e continue a onda para a direita (por exemplo em x=\tfrac{3\pi}{2} vale -1, etc).
  4. Ao final, verifique os saltos: há um salto em x=0 entre o ponto aberto (0,2) e o ponto preenchido (0,1); há outro salto em x=\pi entre o ponto preenchido (\pi,-1) e o ponto aberto (\pi,0).
    Esses saltos confirmam graficamente que os limites em 0 e \pi não existem.

Passo 7

Conclusão final baseada nos cálculos dos limites laterais: a única(s) abscissa(s) onde \lim_{x\to a} f(x) não existe são a=0 e a=\pi. Para qualquer outro a o limite existe e é dado pelo valor da função contínua no ramo correspondente.

Resposta

a=0
a=\pi

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