Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x+2}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede o limite à esquerda
\lim_{x\to 3^-}\frac{x+2}{x-3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}.
  • O ponto de interesse é x=3.
  • O limite é unilateral pela esquerda (ou seja, aproximando x de valores menores que 3).

Passo 2

Tentar substituição direta para ver se o limite é um número finito:
\text{substituindo } x=3 \Rightarrow \frac{3+2}{3-3}=\frac{5}{0},
que é indefinido. Portanto não dá para obter o valor por substituição: o denominador zera em x=3.

Passo 3

Analisar o sinal do numerador quando x está perto de 3. O numerador é x+2. Para x perto de 3 (tanto pela esquerda quanto pela direita),
x+2\approx 5,
ou seja, o numerador é positivo e, em particular, para x próximos de 3 mas menores que 3, tem-se x+2>0.

Passo 4

Analisar o sinal e o comportamento do denominador quando x\to3^-. O denominador é x-3. Se x<3 então x-3<0. Além disso, ao aproximar x de 3 pela esquerda, a diferença x-3 tende a 0 por valores negativos, isto é,
x-3\to 0^-.

Passo 5

Combinar sinais e magnitude para a fração. Temos numerador positivo (próximo de 5) e denominador tendendo a 0 por valores negativos. Uma fração com numerador aproximadamente 5>0 e denominador que vai para 0^- tem módulo que cresce sem limite e sinal negativo. Exemplificando com valores próximos:
x=2{,}9:\quad \frac{x+2}{x-3}=\frac{4{,}9}{-0{,}1}=-49,
x=2{,}99:\quad \frac{4{,}99}{-0{,}01}=-499,
esses números ficam cada vez mais negativos à medida que x se aproxima de 3 pela esquerda. Portanto a fração tende para -\infty.

Passo 6

Interpretação formal: o limite não existe como número real finito, mas diverge para menos infinito. Em notação de limites:
\lim_{x\to 3^-}\frac{x+2}{x-3}=-\infty.

Resposta

-\infty

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