Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é uma razão de polinômios: numerador
e denominador . - Os graus (potências mais altas) de numerador e denominador são ambos
. - Não há outra condição ou restrição no enunciado.
Passo 2
Escolhendo um método simples e direto: quando
é útil dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui
). Isso tira o comportamento dominante (os termos de maior grau) e deixa claro o que acontece com os termos menores. Vou aplicar essa operação algébrica agora.
Passo 3
Dividindo cada termo por
:
Explicando passo a passo: dividir por
significa escrever cada termo como uma potência relativa a
. Por exemplo
. Isso simplifica a expressão e mostra claramente os termos que tendem a zero quando
.
Passo 4
Agora analiso o comportamento das frações
e
quando
. Sabemos que
porque um número fixo dividido por
vai a zero conforme
cresce sem limite. Então, tomando limite na expressão simplificada:
Passo 5
Interpretação e regra geral (uma mini-aula prática): para uma razão de polinômios
- se
(mesmo grau), o limite quando é (razão dos coeficientes líderes); - se
, o limite é ; - se
, o limite é dependendo do sinal do termo dominante.
Aplicando essa regra ao nosso caso: ambos graus são
e os coeficientes líderes são
(no numerador) e
(no denominador), então o limite é
. Exemplo rápido para fixar: