Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3 x}{x^{2}-4 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-4x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é uma razão de polinômios: numerador x^{2}+3x e denominador x^{2}-4x.
  • Os graus (potências mais altas) de numerador e denominador são ambos 2.
  • Não há outra condição ou restrição no enunciado.

Passo 2

Escolhendo um método simples e direto: quando x\to\infty é útil dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{2}). Isso tira o comportamento dominante (os termos de maior grau) e deixa claro o que acontece com os termos menores. Vou aplicar essa operação algébrica agora.

Passo 3

Dividindo cada termo por x^{2}:
\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-4x} = \frac{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{3x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{4x}{x^{2}}} = \frac{1+\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{4}{x}}.
Explicando passo a passo: dividir por x^{2} significa escrever cada termo como uma potência relativa a x^{2}. Por exemplo \dfrac{3x}{x^{2}}=\dfrac{3}{x}. Isso simplifica a expressão e mostra claramente os termos que tendem a zero quando x\to\infty.

Passo 4

Agora analiso o comportamento das frações \dfrac{3}{x} e \dfrac{4}{x} quando x\to\infty. Sabemos que
\lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\dfrac{4}{x}=0,
porque um número fixo dividido por x vai a zero conforme x cresce sem limite. Então, tomando limite na expressão simplificada:
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{4}{x}} =\frac{1+0}{1-0}=1.

Passo 5

Interpretação e regra geral (uma mini-aula prática): para uma razão de polinômios
\frac{a_n x^n + \text{(termos menores)}}{b_m x^m + \text{(termos menores)}},
  • se n=m (mesmo grau), o limite quando x\to\infty é \dfrac{a_n}{b_m} (razão dos coeficientes líderes);
  • se n<m, o limite é 0;
  • se n>m, o limite é \pm\infty dependendo do sinal do termo dominante.
Aplicando essa regra ao nosso caso: ambos graus são 2 e os coeficientes líderes são 1 (no numerador) e 1 (no denominador), então o limite é \dfrac{1}{1}=1. Exemplo rápido para fixar:
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}+x}{5x^{3}-7}=\frac{2}{5}, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=0.

Resposta

1

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