Esboce o gráfico das seguintes funções:
f_{1}(x)=\frac{\cot (x)}{\csc (x)}

Passo 1

Enunciado: esboçar o gráfico da função f_{1}(x)=\frac{\cot(x)}{\csc(x)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é dada como quociente de funções trigonométricas que envolvem \sin x.
  • Tanto \cot x quanto \csc x têm \sin x no denominador, por isso devemos ficar atentos a pontos onde \sin x=0.
  • Os zeros de \sin x ocorrem em x=k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Esses pontos são candidatos a estarem fora do domínio da função original.

Passo 2

Definições e identidade usada (aula rápida):
  • Por definição, \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}. Aqui \cos x e \sin x são as funções trigonométricas usuais; \sin x não pode ser zero nesta expressão porque aparece no denominador.
  • Por definição, \csc x=\frac{1}{\sin x}. Novamente, isso exige \sin x\neq0.
Vamos usar essas definições para simplificar a expressão:
\frac{\cot x}{\csc x}=\frac{\dfrac{\cos x}{\sin x}}{\dfrac{1}{\sin x}}.
Explicando o passo: dividimos duas frações. Para dividir \dfrac{A}{B} por \dfrac{C}{D} fazemos \dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}. Aqui A=\cos x, B=\sin x, C=1, D=\sin x.
Aplicando isso:
\frac{\dfrac{\cos x}{\sin x}}{\dfrac{1}{\sin x}}=\dfrac{\cos x}{\sin x}\cdot\dfrac{\sin x}{1}.
Agora podemos cancelar \sin x (desde que \sin x\neq0):
\dfrac{\cos x}{\sin x}\cdot\dfrac{\sin x}{1}=\cos x.
Conclusão do passo: algébrica e formalmente,
\frac{\cot x}{\csc x}=\cos x\quad\text{sempre que }\sin x\neq0.

Passo 3

Domínio e cuidado com pontos excluídos (aula sobre domínio e continuidade):
  • A simplificação para \cos x só é válida quando podemos dividir por \sin x, ou seja, quando \sin x\neq0.
  • Portanto o domínio da função original f_{1} é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
  • Em todos os pontos do domínio, f_{1}(x)=\cos x. Nos pontos x=k\pi a expressão original não está definida (há divisão por zero) — assim, embora \cos x esteja definida nesses pontos, f_{1} tem descontinuidade removível aí: o valor limite existe e é \cos(k\pi)=(-1)^k, mas o ponto está ausente do gráfico (devemos desenhar um círculo aberto).
Resumo deste passo: o gráfico de f_{1} coincide com o gráfico de \cos x em toda parte em que \sin x\neq0, e apresenta «buracos» (pontos excluídos) em x=k\pi com altura y=\cos(k\pi)=(-1)^k.

Passo 4

Características do gráfico (o que desenhar e por que):
  • Amplitude: 1. O valor máximo (quando definido) é 1 e o mínimo é -1.
  • Período: 2\pi. Repete a cada 2\pi.
  • Zeros (onde cruza o eixo x): ocorrem onde \cos x=0, isto é em x=\frac{\pi}{2}+k\pi. Esses pontos pertencem ao domínio porque \sin\big(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\big)=\pm1\neq0.
  • Pontos que seriam máximos/minimos: para \cos x, máximos em x=2k\pi com valor 1 e mínimos em x=(2k+1)\pi com valor -1. Porém, para f_{1} esses pontos estão em x=k\pi e portanto são exatamente os pontos excluídos — devemos desenhar nesses locais círculos abertos: em x=2k\pi um círculo aberto em y=1; em x=(2k+1)\pi um círculo aberto em y=-1.
  • Não há assíntotas verticais nem infinitos: o comportamento é finito em todos os intervalos entre os buracos.
  • Continuidade local: f_{1} é contínua em cada intervalo aberto (k\pi,(k+1)\pi) e tem limites laterais nos pontos x=k\pi iguais a \cos(k\pi)=(-1)^k.

Passo 5

Como esboçar na prática (passo a passo para você desenhar sem calculadora):
  1. Faça um eixo x e marque pontos \ldots, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \ldots.
  2. Em cada x=k\pi desenhe um pequeno círculo aberto na altura y=(-1)^k: em 0 círculo aberto em y=1; em \pi círculo aberto em y=-1; em 2\pi círculo aberto em y=1; etc.
  3. Entre esses pontos (por exemplo em (0,\pi)) desenhe a porção da curva \cos x: começa próximo de 1 em x=0 (mas com círculo aberto), cruza x-axis em x=\pi/2, atinge -1 em x=\pi (mas com círculo aberto). Faça isso repetidamente para cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi).
  4. Marque alguns pontos-chefe para orientar: por exemplo
\begin{aligned} f_{1}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)&=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\\\ f_{1}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)&=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2},\\\ \lim_{x\to 0}f_{1}(x)&=\cos 0=1\quad\text{(valor limite, mas }f_{1}(0)\text{ não existe)}. \end{aligned}ã
  1. Diferencie visualmente os círculos abertos (pontos excluídos) das partes contínuas da curva.

Resposta

O gráfico de f_{1}(x)=\dfrac{\cot x}{\csc x} é igual ao gráfico de \cos x para todo x\neq k\pi e possui pontos excluídos (círculos abertos) em x=k\pi com altura y=\cos(k\pi)=(-1)^k.

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