Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é dada como quociente de funções trigonométricas que envolvem
. - Tanto
quanto têm no denominador, por isso devemos ficar atentos a pontos onde . - Os zeros de
ocorrem em , com . Esses pontos são candidatos a estarem fora do domínio da função original.
Passo 2
Definições e identidade usada (aula rápida):
- Por definição,
. Aqui e são as funções trigonométricas usuais; não pode ser zero nesta expressão porque aparece no denominador. - Por definição,
. Novamente, isso exige .
Vamos usar essas definições para simplificar a expressão:
Explicando o passo: dividimos duas frações. Para dividir
por
fazemos
. Aqui
,
,
,
.
Aplicando isso:
Agora podemos cancelar
(desde que
):
Conclusão do passo: algébrica e formalmente,
Passo 3
Domínio e cuidado com pontos excluídos (aula sobre domínio e continuidade):
- A simplificação para
só é válida quando podemos dividir por , ou seja, quando . - Portanto o domínio da função original
é
- Em todos os pontos do domínio,
. Nos pontos a expressão original não está definida (há divisão por zero) — assim, embora esteja definida nesses pontos, tem descontinuidade removível aí: o valor limite existe e é , mas o ponto está ausente do gráfico (devemos desenhar um círculo aberto).
Resumo deste passo: o gráfico de
coincide com o gráfico de
em toda parte em que
, e apresenta «buracos» (pontos excluídos) em
com altura
.
Passo 4
Características do gráfico (o que desenhar e por que):
- Amplitude:
. O valor máximo (quando definido) é e o mínimo é . - Período:
. Repete a cada . - Zeros (onde cruza o eixo
): ocorrem onde , isto é em . Esses pontos pertencem ao domínio porque . - Pontos que seriam máximos/minimos: para
, máximos em com valor e mínimos em com valor . Porém, para esses pontos estão em e portanto são exatamente os pontos excluídos — devemos desenhar nesses locais círculos abertos: em um círculo aberto em ; em um círculo aberto em . - Não há assíntotas verticais nem infinitos: o comportamento é finito em todos os intervalos entre os buracos.
- Continuidade local:
é contínua em cada intervalo aberto e tem limites laterais nos pontos iguais a .
Passo 5
Como esboçar na prática (passo a passo para você desenhar sem calculadora):
- Faça um eixo
e marque pontos . - Em cada
desenhe um pequeno círculo aberto na altura : em círculo aberto em ; em círculo aberto em ; em círculo aberto em ; etc. - Entre esses pontos (por exemplo em
) desenhe a porção da curva : começa próximo de em (mas com círculo aberto), cruza -axis em , atinge em (mas com círculo aberto). Faça isso repetidamente para cada intervalo . - Marque alguns pontos-chefe para orientar: por exemplo
- Diferencie visualmente os círculos abertos (pontos excluídos) das partes contínuas da curva.
Resposta
O gráfico de
é igual ao gráfico de
para todo
e possui pontos excluídos (círculos abertos) em
com altura
.