Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função
dada por
Informações fornecidas que são relevantes e que precisaremos usar:
- A expressão explícita da função:
. - Para esboçar o gráfico precisamos saber: domínio, assíntotas (verticais e horizontais), sinais, limites em pontos críticos (por exemplo
, , ), monotonicidade (derivada) e concavidade (segunda derivada).
(Não vou resolver nada nesta etapa; só listei o que a questão pede e os dados que temos.)
Passo 2
Determinar o domínio e simplificar a expressão quando for possível.
- A função usa
e . A função está definida para porque sempre que . Porém aparece no denominador e só existe em quando . Portanto a presença de restringe o domínio a . - Conclusão do domínio por agora:
(mas precisamos lembrar de checar , pois anula o denominador). - Para
podemos usar a propriedade do logaritmo . Assim, para e a função simplifica para
Obs.: escrevi passo a passo porque essa simplificação é válida somente para
.
Passo 3
Analisar o ponto
e limites laterais em torno dele.
- Em
temos , então a forma original dá se tentarmos substituir, mas como simplificamos para vemos que o denominador vai para zero e não há definição em . Portanto não pertence ao domínio — muito provavelmente há uma assíntota vertical aí. - Limites laterais usando a forma simplificada
: - Quando
(ou seja e se aproxima de ), temos . Como é negativo e tende a , . - Quando
, temos e .
- Quando
- Conclusão: há uma assíntota vertical em
com comportamentos opostos dos dois lados.
Passo 4
Comportamento em
e
— assíntota horizontal.
- Usando
: - Quando
temos . Assim (tende a zero por valores negativos). - Quando
temos . Assim .
- Quando
- Conclusão: existe uma assíntota horizontal
. A aproximação é de sinais opostos: por a função se aproxima de por baixo (valores negativos), e por se aproxima de por cima (valores positivos).
Passo 5
Determinar o sinal da função e zeros.
- Para
temos a forma . - Quando
, então . - Quando
, então . - A função não se anula em nenhum ponto do domínio, porque
exigiria , isto é . O único positivo que anula seria , mas este ponto não pertence ao domínio. Logo não há zeros no domínio. A função aproxima zero, mas não a atinge.
Passo 6
Cálculo da derivada para estudar monotonicidade (passo a passo).
- Partimos da forma simplificada
- Derivando com a regra da cadeia: se
então . Como , temos
- Análise do sinal de
: - No domínio
(com ), o fator e . O numerador é negativo. Logo para todo e para todo .
- No domínio
- Conclusão:
é estritamente decrescente em cada intervalo de continuidade e . Não existem máximos/minimos locais nesses intervalos (nenhum ponto crítico interno).
Passo 7
Cálculo da segunda derivada para concavidade (opcional, mas útil para o esboço).
- Partimos de
. Escrevemos . - Derivando novamente (produto/chain rule):
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
- Derivada de
- Então
- Simplificando passo a passo:
- O interior fica
. - Multiplicando por
dá
- O interior fica
- Interpretação do sinal:
- O fator
tem sinal determinado por (pois ). Assim o sinal de depende do produto . - Observação prática:
tem o mesmo sinal de . Portanto, analisamos a mudança pelo fator . - Zero de
acontece quando , ou seja em .
- O fator
- Conclusões concisas sobre concavidade:
- Para
temos então e => produto ? Vamos checar com cuidado: é mais simples usar forma final: . No intervalo temos e então o quociente é negativo dividido por negativo -> positivo? Isso dá que ou ? Melhor fazer um exemplo numérico: em , . Então (<0), é negativo (porque negativo), então denom é negativo, numerador é negativo, negativo sobre negativo -> positivo. Portanto para . - Para
, temos então e => denom negativo, numerador positivo => . - Para
, então e => .
- Para
- Resumo: há um ponto de inflexão em
(troca de concavidade). Concavidade em cada intervalo: -
: concavidade voltada para cima ( ). -
: concavidade voltada para baixo ( ). -
: concavidade voltada para cima ( ).
-
(Se isso parecer meio técnico, o importante para o esboço é saber que há um inflexão perto de
e que depois da assíntota
a curva é côncava para cima.)
Passo 8
Pontos notáveis e valores numéricos para guiar o esboço (calculei alguns para facilitar o desenho à mão).
-
. Então o ponto pertence ao gráfico. -
. Então . -
. -
. - Comportamento geral dos sinais e limites (resumindo):
- Para
: , tende a quando , e vai a quando . - Para
: , tende a quando , e vai a quando .
- Para
Passo 9
Como esboçar, passo a passo prático (como você pode desenhar sem calculadora):
- Desenhe os eixos e marque
com uma linha tracejada vertical (assíntota vertical). - Marque a assíntota horizontal
(eixo já é essa linha). - No intervalo
: - A curva começa próxima de
por baixo quando é muito pequeno. - É decrescente e, após o ponto de inflexão em
, passa de côncava para cima para côncava para baixo, e depois desce rapidamente para ao se aproximar de . - Você pode marcar o ponto
para guiar a forma.
- A curva começa próxima de
- No intervalo
: - A curva sai de
em e é decrescente e côncava para cima. - Marque
e para guiar a queda suave em direção a . - A função se aproxima de
por cima quando .
- A curva sai de
- Não existe interseção com o eixo
(sem zeros no domínio), coloque apenas as aproximações às assíntotas. - Verifique que a função é estritamente decrescente em cada ramo e tem mudança de sinal em
(negativa à esquerda, positiva à direita).
Pronto — com esses pontos, assíntotas e a informação de concavidade você consegue fazer um esboço confiável à mão.
Resposta
Domínio:
Assíntotas: vertical em e horizontal em
Forma simplificada: para
Sinal: em
;
em
Limites: ,
,
,
Monotonicidade: estritamente decrescente em e em
(pois
)
Concavidade: ponto de inflexão em ; concavidade para cima em
e
, concavidade para baixo em
Pontos úteis: ,
,
Assíntotas: vertical em
Forma simplificada:
Sinal:
Limites:
Monotonicidade: estritamente decrescente em
Concavidade: ponto de inflexão em
Pontos úteis: