Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações dadas:
é a expressão que temos que analisar e desenhar.
Não há figura fornecida: só temos a fórmula da função.
A função envolve logaritmo natural e exponencial
.
Não há figura fornecida: só temos a fórmula da função.
A função envolve logaritmo natural
Passo 2
Determinar o domínio.
Lembrete didático: só está definida quando o argumento é positivo. Logo o domínio de
é
Lembrete didático:
Ou seja, só podemos considerar valores de
estritamente positivos.
Passo 3
Simplificar a expressão usando propriedades de exponenciais e logaritmos.
Fórmula básica que você deve guardar: para
, porque
e
são funções inversas. Outra propriedade útil é que
para qualquer número real
.
Fórmula básica que você deve guardar:
Aplicando aqui com
:
valendo essa igualdade apenas para
(porque
só existe aí).
Passo 4
Conclusão parcial importante (isso é essencial para o esboço):
A função dada é igual à função quadrática , mas com domínio restrito a
. Em símbolos:
A função dada é igual à função quadrática
Na prática, o gráfico será o ramo direito da parábola
, e não a parábola inteira.
Passo 5
Calcular alguns pontos-chave para orientar o esboço (faça isso na prova para posicionar o traço):
Calculemos nos pontos mais úteis:
Calculemos
Observação: escrevi
e
no formato decimal com vírgula (padrão em português).
Passo 6
Comportamento em
e em
.
Usando a forma :
Usando a forma
Mas atenção: embora o limite seja
, o ponto
não pertence ao gráfico porque
não está no domínio; portanto no esboço colocamos um círculo aberto em
.
Para ,
Para
ou seja, a curva cresce sem limite para a direita.
Passo 7
Crescimento e concavidade (isso ajuda a desenhar a forma correta).
Derivada de é
. Como estamos considerando apenas
, temos
para todo
. Isso diz que a curva é estritamente crescente em todo o domínio.
Segunda derivada: . Isso indica que a curva é côncava para cima (convexa) em todo o domínio.
Derivada de
Segunda derivada:
Passo 8
Características finais para o esboço (resumindo o que desenhar):
- Domínio:
. Não desenhe nenhuma parte para . - Forma: ramo direito da parábola
, convexo para cima e crescente. - Ponto de limite na origem: aproxima-se de
quando , mas com círculo aberto em porque o ponto não pertence ao gráfico. - Passa por
e por (bom para orientar o traço). - Não há assíntotas horizontais ou verticais; a curva simplesmente parte de perto de zero (à direita) e sobe para o infinito.
Passo 9
Como fazer o esboço na prova (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
e . - Coloque um círculo aberto em
. - Desenhe passando suavemente por
(aberto), subindo por e , mantendo a curvatura típica de (concavidade para cima). - Indique que o gráfico existe somente para
(pode desenhar uma seta para a direita mostrando que continua crescendo).
Resposta
Gráfico: ramo direito da parábola
para
; passa por
e
; aproxima-se de
quando
mas
não pertence ao gráfico (círculo aberto).