Esboce o gráfico das seguintes funções:
f_{3}(x)=e^{2 \ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função \displaystyle f_{3}(x)=e^{2\ln(x)}.
Informações dadas:
\displaystyle f_{3}(x)=e^{2\ln(x)} é a expressão que temos que analisar e desenhar.
Não há figura fornecida: só temos a fórmula da função.
A função envolve logaritmo natural \ln e exponencial e^{(\cdot)}.

Passo 2

Determinar o domínio.
Lembrete didático: \ln(x) só está definida quando o argumento é positivo. Logo o domínio de \displaystyle f_{3} é
\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}.
Ou seja, só podemos considerar valores de x estritamente positivos.

Passo 3

Simplificar a expressão usando propriedades de exponenciais e logaritmos.
Fórmula básica que você deve guardar: \displaystyle e^{\ln(a)}=a para a>0, porque e^{(\cdot)} e \ln(\cdot) são funções inversas. Outra propriedade útil é que \displaystyle e^{k\ln(x)}=(e^{\ln(x)})^{k} para qualquer número real k.
Aplicando aqui com k=2:
e^{2\ln(x)}=\big(e^{\ln(x)}\big)^{2}=x^{2},
valendo essa igualdade apenas para x>0 (porque \ln(x) só existe aí).

Passo 4

Conclusão parcial importante (isso é essencial para o esboço):
A função dada é igual à função quadrática \displaystyle x^{2}, mas com domínio restrito a x>0. Em símbolos:
f_{3}(x)=x^{2},\qquad x>0.
Na prática, o gráfico será o ramo direito da parábola y=x^{2}, e não a parábola inteira.

Passo 5

Calcular alguns pontos-chave para orientar o esboço (faça isso na prova para posicionar o traço):
Calculemos \,f_{3}(x)=x^{2} nos pontos mais úteis:
f_{3}(1)=1^{2}=1,
f_{3}(2)=2^{2}=4,
f_{3}\bigl(0,5\bigr)=(0,5)^{2}=0,25,
f_{3}\bigl(0,1\bigr)=(0,1)^{2}=0,01.
Observação: escrevi \,0,5 e \,0,1 no formato decimal com vírgula (padrão em português).

Passo 6

Comportamento em x\to 0^{+} e em x\to+\infty.
Usando a forma x^{2}:
\lim_{x\to 0^{+}} f_{3}(x)=\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}=0.
Mas atenção: embora o limite seja 0, o ponto (0,0) não pertence ao gráfico porque x=0 não está no domínio; portanto no esboço colocamos um círculo aberto em (0,0).
Para x\to+\infty,
\lim_{x\to +\infty} f_{3}(x)=+\infty,
ou seja, a curva cresce sem limite para a direita.

Passo 7

Crescimento e concavidade (isso ajuda a desenhar a forma correta).
Derivada de \,x^{2} é \,2x. Como estamos considerando apenas x>0, temos \,f_{3}'(x)=2x>0 para todo x>0. Isso diz que a curva é estritamente crescente em todo o domínio.
Segunda derivada: f_{3}''(x)=2>0. Isso indica que a curva é côncava para cima (convexa) em todo o domínio.

Passo 8

Características finais para o esboço (resumindo o que desenhar):
  • Domínio: x>0. Não desenhe nenhuma parte para x\le 0.
  • Forma: ramo direito da parábola y=x^{2}, convexo para cima e crescente.
  • Ponto de limite na origem: aproxima-se de (0,0) quando x\to 0^{+}, mas com círculo aberto em (0,0) porque o ponto não pertence ao gráfico.
  • Passa por (1,1) e por (2,4) (bom para orientar o traço).
  • Não há assíntotas horizontais ou verticais; a curva simplesmente parte de perto de zero (à direita) e sobe para o infinito.

Passo 9

Como fazer o esboço na prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (1,1) e (2,4).
  3. Coloque um círculo aberto em (0,0).
  4. Desenhe passando suavemente por (0,0) (aberto), subindo por (1,1) e (2,4), mantendo a curvatura típica de y=x^{2} (concavidade para cima).
  5. Indique que o gráfico existe somente para x>0 (pode desenhar uma seta para a direita mostrando que continua crescendo).

Resposta

Gráfico: ramo direito da parábola \,y=x^{2} para \,x>0; passa por (1,1) e (2,4); aproxima-se de (0,0) quando x\to 0^{+} mas (0,0) não pertence ao gráfico (círculo aberto).

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