Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.\n
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é
. - Queremos o esboço (forma geral), pontos importantes, comportamento nas extremidades e assíntotas se houverem.
- Não foi dada nenhuma outra restrição; assumimos
.
Passo 2
Domínio e imagem (alcance) — por que são esses?\n
- Domínio: qualquer número real pode ser colocado no expoente, logo o domínio é
.\n - Imagem (valores que
assume): uma potência de base positiva nunca é zero nem negativa. Assim para todo . Portanto a imagem é .\n
Explicando de leve: potências de basesempre dão números positivos; nunca chegam a zero nem passam para negativos.
Passo 3
Interceptos com os eixos (pontos fáceis de calcular)\n
- Interseção com o eixo
: calcular . Temos . Então o ponto é .\n - Interseção com o eixo
: resolver . Não existe que faça isso porque sempre. Logo não há raízes (nenhum corte com o eixo ).
Passo 4
Valores em alguns pontos para termos uma tabela e saber onde plotar\n
Calculemos valores simples (isso é o que você deve plotar à mão na prova):
Calculemos valores simples (isso é o que você deve plotar à mão na prova):
-
: → ponto . -
: → ponto . -
: → ponto . -
: → ponto . -
: → ponto .\n
Esses pontos mostram rapidamente a forma: valores grandes paranegativos e valores pequenos (próximos de zero) para positivos.
Passo 5
Comportamento nas extremidades (limites) e assíntota horizontal\n
- Quando
: . Logo . Isso mostra que há uma assíntota horizontal em .\n - Quando
: . Logo .\n
Em palavras: à direita o gráfico se aproxima cada vez mais do eixosem tocá‑lo; à esquerda ele cresce sem limite.
Passo 6
Monotonicidade — por que
é decrescente?\n
Duas maneiras simples (sem cálculo pesado):
Duas maneiras simples (sem cálculo pesado):
- Reescrevendo:
. A base está entre e . Potências diminuem quando aumenta (por exemplo, , , ). Portanto é decrescente em todo .\n - Outra visão:
é crescente; trocar por reverte a direção, então fica decrescente.\n
Conclusão:é decrescente para todo .
Passo 7
Curvatura (uma observação extra para desenhar bem a forma)\n
Se você já viu derivadas: escrevendo temos
e
. Isso significa que a função é decrescente e côncava para cima (curva “virada” para cima). Se você ainda não viu derivada, basta observar a tabela de pontos: a taxa de queda vai diminuindo quando
aumenta (a curva se “achata” aproximando-se de
).
Se você já viu derivadas: escrevendo
Passo 8
Relação geométrica útil para esboçar rápido\n
O gráfico de é o espelho (reflexão) do gráfico de
em relação ao eixo
. Então, se você souber esboçar
, basta refletir na vertical para obter
. Isso é prático na prova para desenhar rápido.
O gráfico de
Passo 9
Como esboçar passo a passo (o que fazer no papel)\n
- Desenhe eixos
e .\n - Marque e plote os pontos
, , , , .\n - Desenhe uma linha horizontal tracejada em
para lembrar a assíntota.\n - Una os pontos com uma curva suave, decrescente, que sobe muito quando
vai para e vai se aproximando de quando . Mantenha a concavidade para cima (a curva se achata à medida que se aproxima de ).\n - Não tente fazer cantos: exponenciais são curvas bem suaves.
Resposta
Gráfico decrescente para todo
, domínio
, imagem
; assíntota horizontal
; passa por
,
,
,
,
.