Esboce o gráfico das seguintes funções:
f_{1}(x)=2^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f_{1}(x)=2^{-x}.\n
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f_{1}(x)=2^{-x}.
  • Queremos o esboço (forma geral), pontos importantes, comportamento nas extremidades e assíntotas se houverem.
  • Não foi dada nenhuma outra restrição; assumimos x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Domínio e imagem (alcance) — por que são esses?\n
  • Domínio: qualquer número real pode ser colocado no expoente, logo o domínio é \mathbb{R}.\n
  • Imagem (valores que f assume): uma potência de base positiva nunca é zero nem negativa. Assim 2^{-x}>0 para todo x. Portanto a imagem é (0,\infty).\n
    Explicando de leve: potências de base 2 sempre dão números positivos; nunca chegam a zero nem passam para negativos.

Passo 3

Interceptos com os eixos (pontos fáceis de calcular)\n
  • Interseção com o eixo y: calcular f_{1}(0). Temos f_{1}(0)=2^{0}=1. Então o ponto é (0,1).\n
  • Interseção com o eixo x: resolver 2^{-x}=0. Não existe x\in\mathbb{R} que faça isso porque 2^{-x}>0 sempre. Logo não há raízes (nenhum corte com o eixo x).

Passo 4

Valores em alguns pontos para termos uma tabela e saber onde plotar\n
Calculemos valores simples (isso é o que você deve plotar à mão na prova):
  • x=-2: f_{1}(-2)=2^{-(-2)}=2^{2}=4 → ponto (-2,4).
  • x=-1: f_{1}(-1)=2^{1}=2 → ponto (-1,2).
  • x=0: f_{1}(0)=1 → ponto (0,1).
  • x=1: f_{1}(1)=2^{-1}=\tfrac{1}{2} → ponto (1,\tfrac{1}{2}).
  • x=2: f_{1}(2)=2^{-2}=\tfrac{1}{4} → ponto (2,\tfrac{1}{4}).\n
    Esses pontos mostram rapidamente a forma: valores grandes para x negativos e valores pequenos (próximos de zero) para x positivos.

Passo 5

Comportamento nas extremidades (limites) e assíntota horizontal\n
  • Quando x\to+\infty: 2^{-x}=(\tfrac{1}{2})^{x}\to0. Logo \lim_{x\to+\infty}2^{-x}=0. Isso mostra que há uma assíntota horizontal em y=0.\n
  • Quando x\to-\infty: 2^{-x}=2^{|x|}\to+\infty. Logo \lim_{x\to-\infty}2^{-x}=+\infty.\n
    Em palavras: à direita o gráfico se aproxima cada vez mais do eixo x sem tocá‑lo; à esquerda ele cresce sem limite.

Passo 6

Monotonicidade — por que f_{1} é decrescente?\n
Duas maneiras simples (sem cálculo pesado):
  1. Reescrevendo: 2^{-x}=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{x}. A base \tfrac{1}{2} está entre 0 e 1. Potências \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{x} diminuem quando x aumenta (por exemplo, \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{0}=1, \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{1}=\tfrac{1}{2}, \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4}). Portanto f_{1} é decrescente em todo \mathbb{R}.\n
  2. Outra visão: 2^{x} é crescente; trocar x por -x reverte a direção, então 2^{-x} fica decrescente.\n
    Conclusão: f_{1} é decrescente para todo x.

Passo 7

Curvatura (uma observação extra para desenhar bem a forma)\n
Se você já viu derivadas: escrevendo 2^{-x}=e^{-x\ln 2} temos f'(x)=-\ln 2\cdot 2^{-x}<0 e f''(x)=(\ln 2)^{2}\cdot 2^{-x}>0. Isso significa que a função é decrescente e côncava para cima (curva “virada” para cima). Se você ainda não viu derivada, basta observar a tabela de pontos: a taxa de queda vai diminuindo quando x aumenta (a curva se “achata” aproximando-se de y=0).

Passo 8

Relação geométrica útil para esboçar rápido\n
O gráfico de f_{1}(x)=2^{-x} é o espelho (reflexão) do gráfico de g(x)=2^{x} em relação ao eixo y. Então, se você souber esboçar 2^{x}, basta refletir na vertical para obter 2^{-x}. Isso é prático na prova para desenhar rápido.

Passo 9

Como esboçar passo a passo (o que fazer no papel)\n
  1. Desenhe eixos x e y.\n
  2. Marque e plote os pontos (-2,4), (-1,2), (0,1), (1,\tfrac{1}{2}), (2,\tfrac{1}{4}).\n
  3. Desenhe uma linha horizontal tracejada em y=0 para lembrar a assíntota.\n
  4. Una os pontos com uma curva suave, decrescente, que sobe muito quando x vai para -\infty e vai se aproximando de y=0 quando x\to+\infty. Mantenha a concavidade para cima (a curva se achata à medida que se aproxima de y=0).\n
  5. Não tente fazer cantos: exponenciais são curvas bem suaves.

Resposta

Gráfico decrescente para todo x, domínio \mathbb{R}, imagem (0,\infty); assíntota horizontal y=0; passa por (-2,4), (-1,2), (0,1), (1,\tfrac{1}{2}), (2,\tfrac{1}{4}).

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