Esboce o gráfico das seguintes funções:
f_{2}(x)=\csc (x)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função \,f_{2}(x)=\csc(x)\,.
Informações fornecidas/que precisamos obter para esboçar:
  • A expressão da função: \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}.
  • Precisamos descobrir e anotar: domínio, assíntotas verticais, período, intervalo de valores (imagem), pontos notáveis (valores em \pi/2,\;3\pi/2, etc.), simetrias, e o comportamento em cada intervalo entre assíntotas para poder desenhar os ramos.

Passo 2

Definição e consequência imediata: \csc(x) é o recíproco de \sin(x).
\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}.
Isso já manda uma regra importante: onde \sin(x)=0 a função \csc(x) não está definida (porque não se pode dividir por zero). Portanto precisamos achar os zeros de \sin(x) e marcá-los como pontos onde haverá problemas (assíntotas).

Passo 3

Encontrando o domínio: os zeros de \sin(x) ocorrem em
x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo o domínio de \csc(x) é
\mathbb{R}\setminus\{\pi k:\;k\in\mathbb{Z}\}.
Ou seja: todos os reais exceto os múltiplos inteiros de \pi.

Passo 4

Período e simetria: a função \sin(x) tem período 2\pi, logo \csc(x) também tem período 2\pi no sentido de repetição completa:
\csc(x+2\pi)=\csc(x).
Observação útil: \sin(x+\pi)=-\sin(x) então
\csc(x+\pi)=-\csc(x),
ou seja, a forma se repete alternando sinal a cada \pi. Além disso, como \sin(x) é ímpar, \csc(x) também é ímpar:
\csc(-x)=-\csc(x),
o que significa simetria ímpar (simetria central em relação à origem).

Passo 5

Imagem (range): como \sin(x)\in[-1,1] para todo x, o recíproco \csc(x) só pode tomar valores com módulo maior ou igual a 1. Assim
\mathrm{Im}(\csc)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
Não existem valores entre -1 e 1.

Passo 6

Assíntotas verticais e comportamento perto delas: as assíntotas verticais aparecem onde \sin(x)=0, ou seja em
x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Para entender o sinal (se vai a +\infty ou -\infty ao se aproximar), usamos a aproximação \sin(x)\approx x perto de 0 e o sinal de \sin no intervalo. Exemplo padrão:
\lim_{x\to 0^+}\csc(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^-}\csc(x)=-\infty.
De modo geral, entre duas assíntotas consecutivas x=\pi k e x=\pi(k+1) a \sin(x) é ou positiva (quando k é par) ou negativa (quando k é ímpar), e a \csc(x) segue o mesmo sinal.

Passo 7

Pontos notáveis (valores fáceis): os extremos de \sin produzem valores simples de \csc.
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1\quad\Rightarrow\quad \csc\!\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1,
\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1\quad\Rightarrow\quad \csc\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1.
Portanto nos pontos \,x=\frac{\pi}{2}+2\pi k temos valor 1 (mínimos em módulo na região positiva) e em \,x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k temos valor -1.
Exemplos numéricos para ajudar a esboçar:
\csc\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sin(\pi/6)}=\frac{1}{1/2}=2,
\csc\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\sin(\pi/3)}=\frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1,155.
Esses valores mostram que entre as assíntotas o gráfico passa por um ponto de mínimo (no caso positivo) igual a 1 (em \pi/2) e cresce rapidamente até as assíntotas.

Passo 8

Formato dos ramos (como desenhar em cada intervalo): considere o intervalo padrão (0,\pi). Nele \sin(x)>0, portanto \csc(x)>0. O comportamento é:
  • em x\to 0^+: \csc(x)\to +\infty;
  • em x=\pi/2: \csc(x)=1 (ponto mais baixo do ramo nesse intervalo);
  • em x\to \pi^-: \csc(x)\to +\infty.
Esse ramo tem forma de “U invertido para cima” com mínimo em 1 no centro \pi/2.
Agora olhe o intervalo (\pi,2\pi). Nele \sin(x)<0, portanto \csc(x)<0. O comportamento:
  • em x\to \pi^+: \csc(x)\to -\infty;
  • em x=3\pi/2: \csc(x)=-1 (ponto mais alto do ramo negativo);
  • em x\to 2\pi^-: \csc(x)\to -\infty.
Esse ramo tem forma de “U invertido para baixo” com máximo em -1 no centro 3\pi/2.
Repetir esse padrão para todos os intervalos (\pi k,\pi(k+1)): ramos positivos nos intervalos onde \sin>0 e ramos negativos onde \sin<0. A cada intervalo entre assíntotas o gráfico faz um arco que diverge para \pm\infty nas bordas e tem um ponto de menor módulo (±1) no centro do intervalo.

Passo 9

Passo a passo prático para esboçar (faça no papel):
  1. Trace o eixo x e marque os pontos x=\pi k para k=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots. Em cada um desenhe uma linha pontilhada vertical (assíntotas).
  2. Marque os pontos médios \,x=\frac{\pi}{2}+ \pi k e coloque aí os pontos \pm 1 conforme k (em \frac{\pi}{2}+2\pi k será +1, em \frac{3\pi}{2}+2\pi k será -1).
  3. Entre cada par de assíntotas desenhe um arco contínuo que: vai a +\infty ou -\infty nas bordas, tem um extremo em \pm 1 no centro do intervalo, e é suave (sem cruzar o eixo y porque a função não é zero).
  4. Repare na simetria ímpar: o ramo em (-\pi,0) é a reflexão rotacionada em relação à origem do ramo em (0,\pi).
  5. Anote a imagem (-\infty,-1]\cup[1,\infty) e o período 2\pi no desenho se quiser.

Passo 10

Observações finais e dicas para a prova:
  • Nunca esqueça que \csc(x) nunca corta o eixo x (não tem zeros).
  • As assíntotas estão em \pi k. Sempre comece por marcá-las.
  • Procure sempre desenhar um período completo [0,2\pi] e depois repetir com deslocamentos de 2\pi (ou usar a anti-periocidade de \pi para ver o sinal alternado).
  • Se precisar de pontos extras para precisão calcule \csc em ângulos triviais como \pi/6,\pi/3,\pi/4.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\pi k:\;k\in\mathbb{Z}\}
Imagem: (-\infty,-1]\cup[1,\infty)
Assíntotas verticais: x=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}
Período: 2\pi (com alternância de sinal a cada \pi)
Pontos notáveis: \csc\!\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1, \csc\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1
Esboço: entre cada par de assíntotas x=\pi k e x=\pi(k+1) desenhar um ramo que diverge para \pm\infty nas bordas e atinge \pm1 no ponto médio \frac{\pi}{2}+\pi k; ramos positivos onde \sin>0 e negativos onde \sin<0; simetria ímpar em relação à origem.

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