Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.
Informações fornecidas/que precisamos obter para esboçar:
- A expressão da função:
. - Precisamos descobrir e anotar: domínio, assíntotas verticais, período, intervalo de valores (imagem), pontos notáveis (valores em
, etc.), simetrias, e o comportamento em cada intervalo entre assíntotas para poder desenhar os ramos.
Passo 2
Definição e consequência imediata:
é o recíproco de
.
Isso já manda uma regra importante: onde
a função
não está definida (porque não se pode dividir por zero). Portanto precisamos achar os zeros de
e marcá-los como pontos onde haverá problemas (assíntotas).
Passo 3
Encontrando o domínio: os zeros de
ocorrem em
Logo o domínio de
é
Ou seja: todos os reais exceto os múltiplos inteiros de
.
Passo 4
Período e simetria: a função
tem período
, logo
também tem período
no sentido de repetição completa:
Observação útil:
então
ou seja, a forma se repete alternando sinal a cada
. Além disso, como
é ímpar,
também é ímpar:
o que significa simetria ímpar (simetria central em relação à origem).
Passo 5
Imagem (range): como
para todo
, o recíproco
só pode tomar valores com módulo maior ou igual a
. Assim
Não existem valores entre
e
.
Passo 6
Assíntotas verticais e comportamento perto delas: as assíntotas verticais aparecem onde
, ou seja em
Para entender o sinal (se vai a
ou
ao se aproximar), usamos a aproximação
perto de
e o sinal de
no intervalo. Exemplo padrão:
De modo geral, entre duas assíntotas consecutivas
e
a
é ou positiva (quando
é par) ou negativa (quando
é ímpar), e a
segue o mesmo sinal.
Passo 7
Pontos notáveis (valores fáceis): os extremos de
produzem valores simples de
.
Portanto nos pontos
temos valor
(mínimos em módulo na região positiva) e em
temos valor
.
Exemplos numéricos para ajudar a esboçar:
Esses valores mostram que entre as assíntotas o gráfico passa por um ponto de mínimo (no caso positivo) igual a
(em
) e cresce rapidamente até as assíntotas.
Passo 8
Formato dos ramos (como desenhar em cada intervalo): considere o intervalo padrão
. Nele
, portanto
. O comportamento é:
- em
: ; - em
: (ponto mais baixo do ramo nesse intervalo); - em
: .
Esse ramo tem forma de “U invertido para cima” com mínimo em
no centro
.
Agora olhe o intervalo
. Nele
, portanto
. O comportamento:
- em
: ; - em
: (ponto mais alto do ramo negativo); - em
: .
Esse ramo tem forma de “U invertido para baixo” com máximo em
no centro
.
Repetir esse padrão para todos os intervalos
: ramos positivos nos intervalos onde
e ramos negativos onde
. A cada intervalo entre assíntotas o gráfico faz um arco que diverge para
nas bordas e tem um ponto de menor módulo (±1) no centro do intervalo.
Passo 9
Passo a passo prático para esboçar (faça no papel):
- Trace o eixo
e marque os pontos para . Em cada um desenhe uma linha pontilhada vertical (assíntotas). - Marque os pontos médios
e coloque aí os pontos conforme (em será , em será ). - Entre cada par de assíntotas desenhe um arco contínuo que: vai a
ou nas bordas, tem um extremo em no centro do intervalo, e é suave (sem cruzar o eixo porque a função não é zero). - Repare na simetria ímpar: o ramo em
é a reflexão rotacionada em relação à origem do ramo em . - Anote a imagem
e o período no desenho se quiser.
Passo 10
Observações finais e dicas para a prova:
- Nunca esqueça que
nunca corta o eixo (não tem zeros). - As assíntotas estão em
. Sempre comece por marcá-las. - Procure sempre desenhar um período completo
e depois repetir com deslocamentos de (ou usar a anti-periocidade de para ver o sinal alternado). - Se precisar de pontos extras para precisão calcule
em ângulos triviais como .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntotas verticais:
Período: (com alternância de sinal a cada
)
Pontos notáveis: ,
Esboço: entre cada par de assíntotas e
desenhar um ramo que diverge para
nas bordas e atinge
no ponto médio
; ramos positivos onde
e negativos onde
; simetria ímpar em relação à origem.
Imagem:
Assíntotas verticais:
Período:
Pontos notáveis:
Esboço: entre cada par de assíntotas