Esboce gráfico das seguintes funções.
(e) h(x, y)=1-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis h(x,y)=1 - x^2 - y^2. O conteúdo é superfícies quádricas em \mathbb{R}^3. Para entender a forma dessa superfície, vamos estudar as curvas de nível e os cortes em planos coordenados.

Passo 2

Curvas de nível são dadas por fixar h(x,y)=k. Assim,
k = 1 - x^2 - y^2
que se rearranja em
x^2 + y^2 = 1 - k.
Para cada k \le 1, isso é uma circunferência centrada em (0,0) de raio \sqrt{1 - k}. Para k>1 não há pontos no gráfico.

Passo 3

Vejamos cortes pelos planos coordenados:
  • Plano y=0:
h(x,0)=1 - x^2,
que é uma parábola no plano xz, com vértice em (0,1) e aberta para baixo.
  • Plano x=0:
h(0,y)=1 - y^2,
idem, parábola no plano yz com vértice em (0,1) e aberta para baixo.

Passo 4

As curvas de nível circulares e os cortes parabólicos mostram que o gráfico de h é um paraboloide elíptico circular voltado para baixo, com vértice em (0,0,1). A superfície intercepta o plano z=0 na circunferência x^2+y^2=1.

Resposta

O gráfico de h(x,y)=1 - x^2 - y^2 é um paraboloide elíptico circular aberto para baixo, com vértice em (0,0,1) e que cruza o plano z=0 na circunferência de raio 1.

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