Esboce gráfico das seguintes funções.
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
O conteúdo aqui é reconhecimento de superfícies quádricas em
, mais especificamente de um paraboloide circular. Para esboçar, vamos usar curvas de nível e seções planas.
Passo 2
Curvas de nível: basta fixar
, com
. Então
Para cada
obtemos um círculo de raio
no plano
. Para
a curva de nível degenera em um ponto
. Isso mostra que as curvas são círculos concêntricos, o que indica simetria de rotação em torno do eixo
.
Passo 3
Seções planas:
- Para
, temos , uma parábola no plano com vértice em e aberta para cima. - Para
, de modo análogo, , outra parábola no plano .
Essas seções mostram que em qualquer direção no planoa superfície se curva formando uma “tigela” voltada para cima.
Passo 4
Características finais:
- Vértice em
. - Abertura para cima (isto é, conforme
, ). - Simetria circular em torno do eixo
.
Para o esboço, desenhe o eixo
vertical, marque o ponto mínimo em
e trace seções circulares de raio crescente conforme sobe no eixo
.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide circular com vértice em
e que se abre para cima.