Esboce gráfico das seguintes funções.
(f) g(x, y)=x^{2}+y^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
g(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
O conteúdo aqui é reconhecimento de superfícies quádricas em \mathbb{R}^3, mais especificamente de um paraboloide circular. Para esboçar, vamos usar curvas de nível e seções planas.

Passo 2

Curvas de nível: basta fixar g(x,y)=c, com c\ge1. Então
x^{2}+y^{2}+1 = c \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2} = c-1.
Para cada c>1 obtemos um círculo de raio \sqrt{c-1} no plano z=c. Para c=1 a curva de nível degenera em um ponto (0,0). Isso mostra que as curvas são círculos concêntricos, o que indica simetria de rotação em torno do eixo z.

Passo 3

Seções planas:
  • Para y=0, temos z = x^{2}+1, uma parábola no plano xz com vértice em (0,1) e aberta para cima.
  • Para x=0, de modo análogo, z = y^{2}+1, outra parábola no plano yz.
    Essas seções mostram que em qualquer direção no plano xy a superfície se curva formando uma “tigela” voltada para cima.

Passo 4

Características finais:
  • Vértice em (0,0,1).
  • Abertura para cima (isto é, conforme \|(x,y)\|\to\infty, z\to\infty).
  • Simetria circular em torno do eixo z.
Para o esboço, desenhe o eixo z vertical, marque o ponto mínimo em z=1 e trace seções circulares de raio crescente conforme sobe no eixo z.

Resposta

O gráfico de g(x,y)=x^{2}+y^{2}+1 é um paraboloide circular com vértice em (0,0,1) e que se abre para cima.

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