Se V(x, y) é o potencial elétrico em um ponto (x, y) no plano x y, então as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais, porque em todos os pontos dessa curva o potencial elétrico é o mesmo. Esboce algumas curvas equipotenciais de V(x, y)= c / \sqrt{r^{2}+x^{2}+y^{2}}, onde c é uma constante positiva.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial elétrico no plano xy
V(x,y)=\frac{c}{\sqrt{r^{2}+x^{2}+y^{2}}},
onde c>0 e r são constantes. Queremos esboçar as curvas equipotenciais, isto é, as curvas em que V(x,y) assume um valor fixo V_{0}. Para isso vamos primeiro escrever a equação dessas curvas em termos de x e y.

Passo 2

Impondo a condição de nível V(x,y)=V_{0} obtemos
\frac{c}{\sqrt{r^{2}+x^{2}+y^{2}}}=V_{0}.
Essa igualdade vale para um dado V_{0}>0, que identificará cada curva equipotencial.

Passo 3

Da equação acima fazemos quadrados em ambos os lados:
\frac{c^{2}}{r^{2}+x^{2}+y^{2}}=V_{0}^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}+x^{2}+y^{2}=\frac{c^{2}}{V_{0}^{2}}.
Isolando x^{2}+y^{2} fica
x^{2}+y^{2}=\frac{c^{2}}{V_{0}^{2}}-r^{2}.

Passo 4

A expressão
x^{2}+y^{2}=\frac{c^{2}}{V_{0}^{2}}-r^{2}
é a equação de um círculo de centro na origem e raio
\rho(V_{0})=\sqrt{\frac{c^{2}}{V_{0}^{2}}-r^{2}}.
Portanto, cada valor de V_{0} gera um círculo concêntrico, cujo raio diminui à medida que V_{0} aumenta.

Passo 5

Note que para o raio ser real precisamos de
\frac{c^{2}}{V_{0}^{2}}-r^{2}\ge0 \quad\Longrightarrow\quad V_{0}\le\frac{c}{r}.
Isto faz sentido fisicamente: o potencial máximo no ponto mais próximo (x,y)=(0,0) é V(0,0)=c/r, e para valores de V_{0} entre 0 e c/r as equipotenciais existem e são círculos que vão do infinito V_{0}\to0 até um círculo de raio zero V_{0}\to c/r.

Resposta

As curvas equipotenciais de
V(x,y)=\frac{c}{\sqrt{r^{2}+x^{2}+y^{2}}}
são círculos centrados na origem, dados por
x^{2}+y^{2}=\frac{c^{2}}{V_{0}^{2}}-r^{2},
para cada nível 0<V_{0}\le c/r.

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