Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: esboçar o gráfico da função
. - Dado: a expressão explícita de
.
Não se resolve nada ainda, apenas fica claro que precisamos representar geometricamente a curvano plano.
Passo 2
Uma simplificação direta que facilita o esboço: usar uma identidade trigonométrica. A identidade de deslocamento diz que
Explicação curta e intuitiva: deslocar a senoide para a esquerda em
transforma o gráfico da função seno em um gráfico de cosseno. Portanto podemos reescrever a função como
Passo 3
Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma simples):
- Amplitude: é a distância máxima da curva até a reta média (ou eixo central). Para uma função do tipo
, a amplitude é . Aqui representa o quanto a curva sobe e desce a partir da reta média. - Período: é o comprimento horizontal de um ciclo completo. Para
, o período é . - Reta média (ou deslocamento vertical): é
no caso geral ; a curva oscila centrada nessa reta. - Máximos e mínimos: ocorrem quando
atinge (máximo) ou (mínimo).
Esses conceitos permitem desenhar a forma correta sem precisar derivar nada.
Passo 4
Aplicando os conceitos à nossa função
:
- Amplitude:
porque o coeficiente de é . - Período:
. - Reta média:
(porque somamos ). - Máximo absoluto: quando
, então . - Mínimo absoluto: quando
, então .
Resumo numérico importante:
Passo 5
Calcular e listar pontos-chave (valores simples de
nos quadrantes) para orientar o esboço. Vou usar os pontos em incrementos de
porque a
toma valores simples neles:
- Para
: então . - Para
: então . - Para
: então . - Para
: então . - Para
: então .
Esses pontos repetem a cada período
, isto é, para qualquer inteiro
:
Passo 6
Onde a curva cruza a reta média
e onde estão máximos e mínimos:
- Cruzamentos com a reta média ocorrem quando
, ou seja, em . - Máximos em
com . - Mínimos em
com .
Também podemos anotar as raízes (onde
): resolver
dá
, logo as raízes coincidem com os mínimos:
.
Passo 7
Instruções práticas para esboçar no papel (passo a passo para você fazer rápido na prova):
- Desenhe e rotule os eixos
e . - Trace a reta horizontal da reta média
(linha guia). - Marque no eixo
os pontos (ou qualquer intervalo de largura que queira mostrar). - Nas abscissas marcadas, coloque as ordenadas encontradas no Passo 5:
, , , , . - Ligue suavemente esses pontos com uma curva ondulada típica de cosseno (começando no máximo em
), respeitando que a amplitude é 1 em torno da reta média . Repita para a esquerda e para a direita conforme necessário (periodicidade ). - Adicione setas nas extremidades para indicar que a função continua periodicamente.
Dica de desenho: a curva parte de
em
, desce passando por
em
, atinge
em
, volta a
em
e completa o ciclo em
em
.
Passo 8
Verificação rápida (sanity check) e interpretação intuitiva:
- Se você olhar a função original
, pensa: é uma senoide deslocada para a esquerda em (por causa do ) e levantada 1 unidade. Isso bate com a transformação para : o gráfico de seno deslocado vira um cosseno, e então somar eleva tudo. Se algo parecer fora do lugar ao desenhar, cheque a reta média e os extremos e .