Esboce o gráfico das seguintes funções:
g(x)=\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: esboçar o gráfico da função g(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+1.
  • Dado: a expressão explícita de g(x).
    Não se resolve nada ainda, apenas fica claro que precisamos representar geometricamente a curva y=g(x) no plano.

Passo 2

Uma simplificação direta que facilita o esboço: usar uma identidade trigonométrica. A identidade de deslocamento diz que
\operatorname{sen}\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x.
Explicação curta e intuitiva: deslocar a senoide para a esquerda em \dfrac{\pi}{2} transforma o gráfico da função seno em um gráfico de cosseno. Portanto podemos reescrever a função como
g(x)=\cos x+1.

Passo 3

Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Amplitude: é a distância máxima da curva até a reta média (ou eixo central). Para uma função do tipo \,A\cos(Bx+C)+D, a amplitude é |A|. Aqui representa o quanto a curva sobe e desce a partir da reta média.
  • Período: é o comprimento horizontal de um ciclo completo. Para \,A\cos(Bx+C)+D, o período é \dfrac{2\pi}{|B|}.
  • Reta média (ou deslocamento vertical): é y=D no caso geral \,A\cos(Bx+C)+D; a curva oscila centrada nessa reta.
  • Máximos e mínimos: ocorrem quando \cos atinge 1 (máximo) ou -1 (mínimo).
Esses conceitos permitem desenhar a forma correta sem precisar derivar nada.

Passo 4

Aplicando os conceitos à nossa função g(x)=\cos x+1:
  • Amplitude: |A| = 1 porque o coeficiente de \cos é 1.
  • Período: \dfrac{2\pi}{|B|}=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi.
  • Reta média: y=1 (porque somamos +1).
  • Máximo absoluto: quando \cos x=1, então g(x)=1+1=2.
  • Mínimo absoluto: quando \cos x=-1, então g(x)= -1+1=0.
Resumo numérico importante:
\begin{aligned} &\text{Amplitude} = 1,\\\ &\text{Período} = 2\pi,\\\ &\text{Reta média}:\\ y=1,\\\ &\text{Valores extremos: } g_{\max}=2,\quad g_{\min}=0. \end{aligned}íé

Passo 5

Calcular e listar pontos-chave (valores simples de \cos nos quadrantes) para orientar o esboço. Vou usar os pontos em incrementos de \dfrac{\pi}{2} porque a \cos toma valores simples neles:
  • Para x=0: \cos 0=1 então g(0)=2.
  • Para x=\dfrac{\pi}{2}: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 então g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • Para x=\pi: \cos\pi=-1 então g(\pi)=0.
  • Para x=\dfrac{3\pi}{2}: \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0 então g\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=1.
  • Para x=2\pi: \cos 2\pi=1 então g(2\pi)=2.
Esses pontos repetem a cada período 2\pi, isto é, para qualquer inteiro k:
g(0+2k\pi)=2,\quad g\!\left(\pi+2k\pi\right)=0,\quad g\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)=1,\\ \text{etc.}

Passo 6

Onde a curva cruza a reta média y=1 e onde estão máximos e mínimos:
  • Cruzamentos com a reta média ocorrem quando \cos x=0, ou seja, em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • Máximos em x=2k\pi com g=2.
  • Mínimos em x=\pi+2k\pi com g=0.
Também podemos anotar as raízes (onde g(x)=0): resolver \cos x+1=0 \cos x=-1, logo as raízes coincidem com os mínimos: x=\pi+2k\pi.

Passo 7

Instruções práticas para esboçar no papel (passo a passo para você fazer rápido na prova):
  1. Desenhe e rotule os eixos x e y.
  2. Trace a reta horizontal da reta média y=1 (linha guia).
  3. Marque no eixo x os pontos 0,\\ \dfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \dfrac{3\pi}{2},\\\ 2\pi (ou qualquer intervalo de largura 2\pi que queira mostrar).
  4. Nas abscissas marcadas, coloque as ordenadas encontradas no Passo 5: g(0)=2, g(\tfrac{\pi}{2})=1, g(\pi)=0, g(\tfrac{3\pi}{2})=1, g(2\pi)=2.
  5. Ligue suavemente esses pontos com uma curva ondulada típica de cosseno (começando no máximo em x=0), respeitando que a amplitude é 1 em torno da reta média y=1. Repita para a esquerda e para a direita conforme necessário (periodicidade 2\pi).
  6. Adicione setas nas extremidades para indicar que a função continua periodicamente.
Dica de desenho: a curva parte de y=2 em x=0, desce passando por y=1 em x=\tfrac{\pi}{2}, atinge y=0 em x=\pi, volta a y=1 em x=\tfrac{3\pi}{2} e completa o ciclo em y=2 em x=2\pi.

Passo 8

Verificação rápida (sanity check) e interpretação intuitiva:
  • Se você olhar a função original g(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)+1, pensa: é uma senoide deslocada para a esquerda em \tfrac{\pi}{2} (por causa do +\tfrac{\pi}{2}) e levantada 1 unidade. Isso bate com a transformação para \cos x +1: o gráfico de seno deslocado vira um cosseno, e então somar +1 eleva tudo. Se algo parecer fora do lugar ao desenhar, cheque a reta média y=1 e os extremos 0 e 2.

Resposta

g(x)=\cos x+1. Amplitude 1. Período 2\pi. Reta média y=1. Máximos em x=2k\pi com g=2. Mínimos em x=\pi+2k\pi com g=0. Cruzamentos da reta média em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.

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