Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O que o exercício pede e o que temos: pediram para esboçar o gráfico da função
. As informações relevantes que já estão no enunciado são:
- A função dada é
. - Não há outras informações fornecidas (logo, devemos usar transformações de funções e propriedades do logaritmo para esboçar).
Passo 2
Entender a função básica de referência: a função básica é
. Vou explicar suas propriedades essenciais (para você lembrar na prova):
- Domínio de
: . Isso vem do fato que o logaritmo só está definido para argumento positivo. - Imagem (contradomínio real atingido): todos os reais, ou seja,
pode assumir qualquer valor em . - Assíntota vertical:
porque quando , . - Ponto importante:
, então . - Crescimento:
é crescente (derivada positiva). Derivada: (aqui é o log natural de 2, uma constante positiva).
Essas propriedades ajudam a esboçar qualquer gráfico do tipopor transformação.
Passo 3
Interpretar
como transformações de
. Passo a passo:
- Começo com
. - Substituo
por para obter . Substituir por corresponde a deslocar o gráfico de uma unidade para a direita. - Depois subtraio
para obter . Subtrair corresponde a deslocar o gráfico de uma unidade para baixo.
Resumindo: o gráfico deé o gráfico de deslocado 1 unidade para a direita e 1 unidade para baixo.
Passo 4
Determinar domínio, assíntota e imagem após as transformações:
- O argumento do log em
é . Exigência: . Logo o domínio é . - A assíntota vertical de
era . Depois do deslocamento para a direita de 1, a assíntota passa a ser . Portanto é assíntota vertical de . - A imagem continua sendo todos os reais:
, porque somar/subtrair constantes não altera que o log alcança todos os reais.
Anote mentalmente: domínio, assíntota vertical , imagem .
Passo 5
Calcular pontos-chave que ajudam no esboço (faça isso na prova: alguns pontos estratégicos bastam):
- Interseção com o eixo
(onde ):
Logo há um ponto
.
- Valor em
(útil porque é logo à direita da assíntota):
portanto ponto
.
- Valor em
(um ponto à direita para ver crescimento):
portanto ponto
.
- Um ponto bem próximo da assíntota para ver a queda para
, por exemplo :
portanto
(isso mostra que perto de
a função já é bem negativa).
Passo 6
Comportamento e monotonicidade (isso ajuda a desenhar a curva corretamente):
- Derivada de
:
- Como
no domínio e , tem-se para todo . Ou seja, é estritamente crescente em todo o domínio. - A derivada tende a
quando (isso indica que a curva sobe muito verticalmente perto da assíntota para a direita, mas note que o valor da função vai para ; a derivada grande positiva mostra que a inclinação fica muito acentuada a partir de valores logo maiores que 1), e tende a quando (crescimento cada vez mais lento). - Segunda derivada (apenas para saber a concavidade):
ou seja,
é côncava para baixo no domínio. Na prática: curva crescente e com concavidade para baixo (sobe, mas “esticando” menos à medida que
cresce).
Passo 7
Instruções simples para esboçar (faça assim no caderno da prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace uma linha tracejada vertical em
(assíntota vertical). - Marque os pontos calculados:
, , , . - Desenhe uma curva que:
- Fica definida só à direita de
. - Tende a
quando (vai descendo sem limite perto da assíntota). - Passa pelos pontos marcados.
- É crescente e côncava para baixo, aproximando-se de subida lenta quando
cresce (não existe assíntota horizontal; ela cresce sem bound, mas devagar).
- Fica definida só à direita de
- Não existe intercepto com eixo
porque não pertence ao domínio.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (como lembrete prático):
- Sempre transforme a função para a forma base
+ deslocamentos: trocas por deslocam para a direita ; somar/subtrair fora do log desloca verticalmente. - Calcule um ponto onde a função vale zero (interseção com o eixo
) e mais 2–3 pontos para orientar o desenho. - Identifique a assíntota vertical resolvendo o argumento do log igual a zero.
- Verifique monotonicidade pela derivada simples
quando precisar justificar crescimento.
Resposta
Domínio:
Assíntota vertical:
Interseção com o eixo :
Pontos úteis: ,
,
Comportamento: função crescente e côncava para baixo; ,
Assíntota vertical:
Interseção com o eixo
Pontos úteis:
Comportamento: função crescente e côncava para baixo;