Esboce o gráfico das seguintes funções:
h(x)=\log _{2}(x-1)-1

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos: pediram para esboçar o gráfico da função h(x)=\log_{2}(x-1)-1. As informações relevantes que já estão no enunciado são:
  • A função dada é h(x)=\log_{2}(x-1)-1.
  • Não há outras informações fornecidas (logo, devemos usar transformações de funções e propriedades do logaritmo para esboçar).

Passo 2

Entender a função básica de referência: a função básica é f(x)=\log_{2}x. Vou explicar suas propriedades essenciais (para você lembrar na prova):
  • Domínio de f: x>0. Isso vem do fato que o logaritmo só está definido para argumento positivo.
  • Imagem (contradomínio real atingido): todos os reais, ou seja, f(x) pode assumir qualquer valor em (-\infty,\infty).
  • Assíntota vertical: x=0 porque quando x\to0^+, \log_{2}x\to -\infty.
  • Ponto importante: \log_{2}1=0, então f(1)=0.
  • Crescimento: f é crescente (derivada positiva). Derivada: f'(x)=\dfrac{1}{x\ln 2} (aqui \ln 2 é o log natural de 2, uma constante positiva).
    Essas propriedades ajudam a esboçar qualquer gráfico do tipo \log por transformação.

Passo 3

Interpretar h(x) como transformações de f(x)=\log_{2}x. Passo a passo:
  • Começo com f(x)=\log_{2}x.
  • Substituo x por x-1 para obter g(x)=\log_{2}(x-1). Substituir x por x-1 corresponde a deslocar o gráfico de f uma unidade para a direita.
  • Depois subtraio 1 para obter h(x)=g(x)-1=\log_{2}(x-1)-1. Subtrair 1 corresponde a deslocar o gráfico de g uma unidade para baixo.
    Resumindo: o gráfico de h é o gráfico de \log_{2}x deslocado 1 unidade para a direita e 1 unidade para baixo.

Passo 4

Determinar domínio, assíntota e imagem após as transformações:
  • O argumento do log em h é x-1. Exigência: x-1>0. Logo o domínio é x>1.
  • A assíntota vertical de f era x=0. Depois do deslocamento para a direita de 1, a assíntota passa a ser x=1. Portanto x=1 é assíntota vertical de h.
  • A imagem continua sendo todos os reais: (-\infty,\infty), porque somar/subtrair constantes não altera que o log alcança todos os reais.
    Anote mentalmente: domínio (1,\infty), assíntota vertical x=1, imagem (-\infty,\infty).

Passo 5

Calcular pontos-chave que ajudam no esboço (faça isso na prova: alguns pontos estratégicos bastam):
  • Interseção com o eixo x (onde h(x)=0):
\log_{2}(x-1)-1=0 \quad\Rightarrow\quad \log_{2}(x-1)=1 \quad\Rightarrow\quad x-1=2 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Logo há um ponto (3,0).
  • Valor em x=2 (útil porque é logo à direita da assíntota):
h(2)=\log_{2}(2-1)-1=\log_{2}1-1=0-1=-1,
portanto ponto (2,-1).
  • Valor em x=5 (um ponto à direita para ver crescimento):
h(5)=\log_{2}(5-1)-1=\log_{2}4-1=2-1=1,
portanto ponto (5,1).
  • Um ponto bem próximo da assíntota para ver a queda para -\infty, por exemplo x=1{,}5:
h(1{,}5)=\log_{2}(0{,}5)-1=\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-1=-1-1=-2,
portanto (1{,}5,-2) (isso mostra que perto de x=1^+ a função já é bem negativa).

Passo 6

Comportamento e monotonicidade (isso ajuda a desenhar a curva corretamente):
  • Derivada de h:
h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\log_{2}(x-1)-1\right]=\frac{1}{(x-1)\ln 2}.
  • Como (x-1)>0 no domínio e \ln 2>0, tem-se h'(x)>0 para todo x>1. Ou seja, h é estritamente crescente em todo o domínio.
  • A derivada tende a +\infty quando x\to1^+ (isso indica que a curva sobe muito verticalmente perto da assíntota para a direita, mas note que o valor da função vai para -\infty; a derivada grande positiva mostra que a inclinação fica muito acentuada a partir de valores logo maiores que 1), e tende a 0^+ quando x\to\infty (crescimento cada vez mais lento).
  • Segunda derivada (apenas para saber a concavidade):
h''(x)=-\frac{1}{(x-1)^2\ln 2}<0,
ou seja, h é côncava para baixo no domínio. Na prática: curva crescente e com concavidade para baixo (sobe, mas “esticando” menos à medida que x cresce).

Passo 7

Instruções simples para esboçar (faça assim no caderno da prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace uma linha tracejada vertical em x=1 (assíntota vertical).
  3. Marque os pontos calculados: (1{,}5,-2), (2,-1), (3,0), (5,1).
  4. Desenhe uma curva que:
    • Fica definida só à direita de x=1.
    • Tende a -\infty quando x\to1^+ (vai descendo sem limite perto da assíntota).
    • Passa pelos pontos marcados.
    • É crescente e côncava para baixo, aproximando-se de subida lenta quando x cresce (não existe assíntota horizontal; ela cresce sem bound, mas devagar).
  5. Não existe intercepto com eixo y porque x=0 não pertence ao domínio.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (como lembrete prático):
  • Sempre transforme a função para a forma base \log_{b}x + deslocamentos: trocas x por x-a deslocam para a direita a; somar/subtrair fora do log desloca verticalmente.
  • Calcule um ponto onde a função vale zero (interseção com o eixo x) e mais 2–3 pontos para orientar o desenho.
  • Identifique a assíntota vertical resolvendo o argumento do log igual a zero.
  • Verifique monotonicidade pela derivada simples 1/((x-1)\ln 2) quando precisar justificar crescimento.

Resposta

Domínio: (1,\infty)
Assíntota vertical: x=1
Interseção com o eixo x: (3,0)
Pontos úteis: (2,-1), (1{,}5,-2), (5,1)
Comportamento: função crescente e côncava para baixo; \lim_{x\to1^{+}}h(x)=-\infty, \lim_{x\to\infty}h(x)=\infty

Exercícios relacionados