Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=2 x^{2}+6 x-12

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função quadrática f(x)=2x^{2}+6x-12.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2x^{2}+6x-12.
  • Coeficientes: a=2, b=6, c=-12.

Passo 2

Identificar o tipo de curva e a concavidade.
Para uma função quadrática da forma f(x)=ax^{2}+bx+c:
  • Se a>0 a parábola abre para cima (tem mínimo).
  • Se a<0 a parábola abre para baixo (tem máximo).
Aqui a=2>0. Logo a parábola abre para cima e o vértice é um ponto de mínimo.

Passo 3

Calcular o eixo de simetria e a abscissa do vértice usando a fórmula
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Substituindo a=2 e b=6:
x_{v} = -\frac{6}{2\cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}.
Portanto o eixo de simetria é a reta x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Calcular a ordenada do vértice y_{v}=f(x_{v}). Usando x_{v}=-\tfrac{3}{2}:
f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=2\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+6\left(-\tfrac{3}{2}\right)-12.
Calcule passo a passo:
\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4}, \qquad 2\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{9}{2}, \qquad 6\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-9.
Então
f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{9}{2}-9-12=\tfrac{9}{2}-21=\tfrac{9-42}{2}=-\tfrac{33}{2}.
Em decimal isso é -16{,}5. Logo o vértice é
\left(-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{33}{2}\right)=\left(-1{,}5,\\\ -16{,}5\right).

Passo 5

Determinar o intercepto com o eixo y. É f(0):
f(0) = 2\cdot 0^{2}+6\cdot 0-12 = -12.
Logo o ponto de interseção com o eixo y é (0,-12).

Passo 6

Calcular as raízes (interceptos com o eixo x) usando a fórmula de Bhaskara:
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot 2\cdot(-12)=36+96=132.
Como \Delta>0 existem duas raízes reais. As raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6\pm\sqrt{132}}{4}.
Simplificando \sqrt{132}=\sqrt{4\cdot 33}=2\sqrt{33}, então
x = \frac{-6\pm 2\sqrt{33}}{4} = \frac{-3\pm\sqrt{33}}{2}.
Valores aproximados (para marcar no esboço):
x_{1}\approx \frac{-3+\sqrt{33}}{2}\approx 1{,}3723,\qquad x_{2}\approx \frac{-3-\sqrt{33}}{2}\approx -4{,}3723.
Logo os pontos de interseção com o eixo x são
\left(\tfrac{-3+\sqrt{33}}{2},0\right)\\ \text{e}\\ \left(\tfrac{-3-\sqrt{33}}{2},0\right).

Passo 7

Pontos adicionais úteis para o esboço (ajudam a “segurar” a forma):
Calcular f(1) e f(2):
f(1)=2(1)^{2}+6(1)-12=2+6-12=-4,
f(2)=2(2)^{2}+6(2)-12=8+12-12=8.
Assim temos os pontos (1,-4) e (2,8). Pela simetria também haverá um ponto simétrico de (1,-4) em relação ao eixo x=-\tfrac{3}{2}.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo para fazer à mão):
  1. Desenhe um sistema de eixos com escala suficiente: por exemplo x de -5 a 3 e y de -20 a 10.
  2. Marque o vértice \left(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{33}{2}\right) (ou (-1{,}5,-16{,}5)).
  3. Trace a reta do eixo de simetria x=-\tfrac{3}{2} como linha pontilhada leve.
  4. Marque os interceptos: (0,-12) e \left(\tfrac{-3\pm\sqrt{33}}{2},0\right)\approx(1{,}3723,0) e (-4{,}3723,0).
  5. Marque os pontos adicionais (1,-4) e (2,8).
  6. Desenhe uma curva suave em forma de U que passe pelo vértice, cruze o eixo x nos dois zeros e passe pelos pontos marcados, respeitando a simetria em torno de x=-\tfrac{3}{2}.
    Dica: parabola é simétrica; desenhe um lado e reflita em relação ao eixo de simetria.

Passo 9

Interpretação final (o que o gráfico mostra):
  • A parábola tem mínimo no vértice \left(-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{33}{2}\right).
  • Abre para cima (porque a=2>0).
  • Corta o eixo y em (0,-12).
  • Corta o eixo x em x=\dfrac{-3\pm\sqrt{33}}{2} (aprox. -4{,}3723 e 1{,}3723).
  • Com esses pontos e a reta de simetria dá para esboçar a curva com boa precisão à mão.

Resposta

Vértice: \left(-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{33}{2}\right)
Eixo de simetria: x=-\tfrac{3}{2}
Interseção com y: (0,-12)
Interseções com x: x=\dfrac{-3\pm\sqrt{33}}{2} (aprox. x\approx -4{,}3723 e x\approx 1{,}3723)
Concavidade: abre para cima (mínimo no vértice)

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