Esboce o gráfico das seguintes funções: y=x-1x+4.

Passo 1

Anotamos que y = x-1x+4 é uma função racional. Para esboçar o gráfico, vamos determinar domínio, assíntotas, interceptos e reescrever a função para identificar a forma de hipérbole.

Passo 2

Domínio e assíntota vertical: resolvemos x+4 neq 0, logo x neq -4. Isso cria a assíntota vertical x = -4.

Passo 3

Assíntota horizontal: calculamos
limx to pminfty x-1x+4 = 1
Portanto, y = 1 é a assíntota horizontal.

Passo 4

Interceptos:
  • Intercepto em x: para y=0 temos x-1=0 e x=1, ponto (1,0).
  • Intercepto em y: para x=0 obtemos y=-tfrac14, ponto (0,-tfrac14).

Passo 5

Reescrevendo por divisão polinomial:
x-1x+4 = 1 - 5x+4,
ou seja
y - 1 = -5x+4
Isso revela uma hipérbole com centro em (-4,1).

Passo 6

Análise dos ramos: o termo -5/(x+4) é positivo quando x+4<0 ( x<-4), fazendo y>1; e é negativo quando x+4>0 ( x>-4), fazendo y<1. Assim, temos um ramo acima de y=1 para x<-4 e um ramo abaixo de y=1 para x>-4.

Passo 7

Esboce as assíntotas x=-4 e y=1, marque os pontos (1,0) e (0,-tfrac14) e desenhe dois ramos de hipérbole aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Hipérbole com centro em (-4,1), assíntotas vertical x=−4 e horizontal y=1, interceptos em (1,0) e (0,−1/4); ramo para x<−4 acima de y=1 e ramo para x>−4 abaixo de y=1.

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