Esboce o gráfico da superfície de equação dada:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície
e pede: esboçar o gráfico dessa superfície no espaço tridimensional.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica é a única condição que define a superfície.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica
Passo 2
Reescrevendo a equação de forma explícita para
:
Aqui uma observação importante: a variável
não aparece na equação. Isso significa que, para cada par
que satisfaça
, qualquer valor de
é permitido. Em palavras: a superfície é obtida “esticando” a reta
do plano
na direção vertical (direção do eixo
).
Passo 3
Vamos achar interseções simples (isso ajuda muito no esboço):
- Interseção com o eixo
(colocar e ): ponto . - Interseção com o eixo
(colocar e ): ponto . - Interseção com o eixo
(colocar e ): logo NÃO há interseção com o eixo .
Passo 4
Interseções com planos coordenados e linhas geradoras:
- Interseção com o plano
é a reta do plano dada por que passa por e . - Interseção com o plano
: colocando obtemos , portanto a interseção é a reta isto é, uma reta paralela ao eixo passando por . - Interseção com o plano
: colocando obtemos , portanto a interseção é a reta outra reta paralela ao eixo .
Essas duas retas paralelas ao eixo
(em
e em
) mostram claramente que a superfície é uma “folha” plana passando por essas retas — isto é, um plano vertical.
Passo 5
Forma vetorial / parametrização (útil para entender e desenhar):
Escolha parâmetros com
e
. Então
Escolha parâmetros
Uma parametrização é
Também podemos escrever o plano em forma ponto-normal. Um vetor normal é
pois os coeficientes de
na equação
dão o normal. Como
tem componente
igual a
, isso confirma que o plano é paralelo ao eixo
.
Passo 6
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem cálculo complicado):
- Desenhe os três eixos
, , com vertical e no plano horizontal (ou desenhe o plano inclinado para melhor perspectiva). - No plano
marque os pontos e e desenhe a reta que os liga — essa é a interseção com . - Em alguns pontos dessa reta (por exemplo em
e ), desenhe segmentos verticais (paralelos ao eixo ) para cima e para baixo — isso indica que a reta foi “esticada” em . - Ligue os topos desses segmentos formando uma folha plana vertical: você terá o esboço do plano. Não se esqueça de desenhar a reta base inteira (não só os pontos), pois ela se estende indefinidamente; o plano também é infinito.
Passo 7
Verificação com um ponto qualquer: por exemplo o ponto
. Substituindo na equação:
logo
pertence ao plano — mostra que a coordenada
não altera a condição, reforçando a ideia de extrusão vertical.
Resposta
A superfície é o plano vertical
, isto é, a extrusão vertical (na direção do eixo
) da reta
do plano
.