Esboce o gráfico da superfície de equação dada:
x+2 y-6=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície
x+2y-6=0
e pede: esboçar o gráfico dessa superfície no espaço tridimensional.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica \,x+2y-6=0 é a única condição que define a superfície.

Passo 2

Reescrevendo a equação de forma explícita para x:
x = 6 - 2y.
Aqui uma observação importante: a variável z não aparece na equação. Isso significa que, para cada par (x,y) que satisfaça \,x+2y-6=0, qualquer valor de z é permitido. Em palavras: a superfície é obtida “esticando” a reta \,x+2y-6=0 do plano z=0 na direção vertical (direção do eixo z).

Passo 3

Vamos achar interseções simples (isso ajuda muito no esboço):
  • Interseção com o eixo x (colocar y=0 e z=0): x+2\cdot0-6=0 \Rightarrow x=6,ponto (6,0,0).
  • Interseção com o eixo y (colocar x=0 e z=0): 0+2y-6=0 \Rightarrow y=3,ponto (0,3,0).
  • Interseção com o eixo z (colocar x=0 e y=0): 0+0-6=-6\neq0,logo NÃO há interseção com o eixo z.

Passo 4

Interseções com planos coordenados e linhas geradoras:
  • Interseção com o plano z=0 é a reta do plano xy dada por x+2y-6=0,que passa por (6,0,0) e (0,3,0).
  • Interseção com o plano y=0: colocando y=0 obtemos x=6, portanto a interseção é a reta \{(6,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\},isto é, uma reta paralela ao eixo z passando por (6,0,0).
  • Interseção com o plano x=0: colocando x=0 obtemos y=3, portanto a interseção é a reta \{(0,3,z)\mid z\in\mathbb{R}\},outra reta paralela ao eixo z.
Essas duas retas paralelas ao eixo z (em x=6,y=0 e em x=0,y=3) mostram claramente que a superfície é uma “folha” plana passando por essas retas — isto é, um plano vertical.

Passo 5

Forma vetorial / parametrização (útil para entender e desenhar):
Escolha parâmetros s,t\in\mathbb{R} com y=s e z=t. Então
x=6-2s.
Uma parametrização é
\mathbf{r}(s,t)=(6-2s,\;s,\;t).
Também podemos escrever o plano em forma ponto-normal. Um vetor normal é
\mathbf{n}=(1,2,0),
pois os coeficientes de x,y,z na equação x+2y-6=0 dão o normal. Como \mathbf{n} tem componente z igual a 0, isso confirma que o plano é paralelo ao eixo z.

Passo 6

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem cálculo complicado):
  1. Desenhe os três eixos x, y, z com z vertical e x,y no plano horizontal (ou desenhe o plano xy inclinado para melhor perspectiva).
  2. No plano z=0 marque os pontos (6,0,0) e (0,3,0) e desenhe a reta que os liga — essa é a interseção com z=0.
  3. Em alguns pontos dessa reta (por exemplo em (6,0,0) e (0,3,0)), desenhe segmentos verticais (paralelos ao eixo z) para cima e para baixo — isso indica que a reta foi “esticada” em z.
  4. Ligue os topos desses segmentos formando uma folha plana vertical: você terá o esboço do plano. Não se esqueça de desenhar a reta base inteira (não só os pontos), pois ela se estende indefinidamente; o plano também é infinito.

Passo 7

Verificação com um ponto qualquer: por exemplo o ponto (2,2,5). Substituindo na equação:
2 + 2\cdot 2 - 6 = 2 + 4 - 6 = 0,
logo (2,2,5) pertence ao plano — mostra que a coordenada z=5 não altera a condição, reforçando a ideia de extrusão vertical.

Resposta

A superfície é o plano vertical x+2y-6=0, isto é, a extrusão vertical (na direção do eixo z) da reta x+2y-6=0 do plano z=0.

Exercícios relacionados