Esboce o gráfico da superfície de equação dada:
2 x+y+5 z-10=0.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da superfície definida pela equação 2x+y+5z-10=0.
Informações dadas:
  • A equação da superfície é 2x+y+5z-10=0.
  • Não há outras informações adicionais (nenhuma imagem nem restrição sobre x,y,z).
O que vou procurar (sem resolver ainda): pontos de interseção com os eixos, uma forma explícita para z, vetores diretores da superfície e um modo prático de desenhar o plano a partir desses dados.

Passo 2

Encontrar as interseções da superfície com os eixos coordenados — isso nos dá pontos concretos para desenhar.
x-intercepto: ponho y=0 e z=0 na equação e resolvo para x.
2x+0+5\cdot0-10=0 \quad\Rightarrow\quad 2x-10=0 \quad\Rightarrow\quad x=5.
Logo o ponto sobre o eixo x é (5,0,0).
y-intercepto: ponho x=0 e z=0.
0+y+5\cdot0-10=0 \quad\Rightarrow\quad y-10=0 \quad\Rightarrow\quad y=10.
Logo o ponto sobre o eixo y é (0,10,0).
z-intercepto: ponho x=0 e y=0.
0+0+5z-10=0 \quad\Rightarrow\quad 5z-10=0 \quad\Rightarrow\quad z=2.
Logo o ponto sobre o eixo z é (0,0,2).
Esses três pontos (5,0,0), (0,10,0) e (0,0,2) pertencem à superfície e são fáceis de marcar num esboço.

Passo 3

Escrever a equação de forma explícita para z; isso ajuda a entender a inclinação do plano e a desenhá-lo como uma função de x e y.
2x+y+5z-10=0 \quad\Longrightarrow\quad 5z=10-2x-y \quad\Longrightarrow\quad z=2-\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}y.
Interpretação prática:
  • Se eu variar x mantendo y fixo, z varia com coeficiente -\dfrac{2}{5} (declive na direção x).
  • Se eu variar y mantendo x fixo, z varia com coeficiente -\dfrac{1}{5} (declive na direção y).
Isso diz: ao mover 5 unidades em x (com y fixo), z diminui em 2 unidades; ao mover 5 unidades em y, z diminui em 1 unidade. Informação útil para desenhar a inclinação.

Passo 4

Verificar o vetor normal ao plano — isso ajuda a garantir que o esboço esteja orientado corretamente.
Para uma equação da forma ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c). Aqui:
\text{normal}=(2,1,5).
Como verificação alternativa, posso usar os vetores que ligam os pontos interceptos e tomar o produto vetorial.
Vetores no plano:
\vec{v}_1=(0,10,0)-(5,0,0)=(-5,10,0),
\vec{v}_2=(0,0,2)-(5,0,0)=(-5,0,2).
Produto vetorial \vec{v}_1\times\vec{v}_2:
\vec{v}_1\times\vec{v}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -5 & 10 & 0\\[4pt] -5 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(10\cdot2-0\cdot0)-\mathbf{j}(-5\cdot2-0\cdot(-5))+\mathbf{k}(-5\cdot0-10\cdot(-5)).
Calculo termo a termo:
\vec{v}_1\times\vec{v}_2= \mathbf{i}(20)-\mathbf{j}(-10)+\mathbf{k}(50)= (20,10,50).
Esse vetor é múltiplo escalar de (2,1,5) (dividindo por 10 obtemos (2,1,5)), confirmando o vetor normal esperado.]

Passo 5

Descrever como esboçar o plano passo a passo na folha — um procedimento que você pode repetir na prova:
  1. Desenhe três eixos coordenados em perspectiva: por exemplo, eixo x para a direita, eixo y saindo para cima/atrás (diagonal) e eixo z vertical para cima. Marque a origem O.
  2. Marque os interceptos que calculamos:
    • X=(5,0,0): no eixo x a uma distância proporcional a 5.
    • Y=(0,10,0): no eixo y a uma distância proporcional a 10.
    • Z=(0,0,2): no eixo z a uma altura 2.
  3. Una os três pontos X,Y,Z. A superfície plana é a única superfície afim que passa por esses três pontos — desenhe um triângulo ligando-os; esse triângulo é um pedaço do plano.
  4. Para mostrar que o triângulo é parte de um plano infinito, estenda os lados formando um paralelogramo fino (ou desenhe retas passando por pares de pontos no plano).
  5. Opcional: desenhe uma pequena seta saindo de um ponto do plano na direção (2,1,5) para indicar o vetor normal (isso ajuda a visualizar a orientação).
Observações de interseção com planos coordenados (úteis no esboço):
  • Interseção com o plano z=0: linha 2x+y-10=0 que passa por (5,0,0) e (0,10,0).
  • Interseção com o plano y=0: linha 2x+5z-10=0 que passa por (5,0,0) e (0,0,2).
  • Interseção com o plano x=0: linha y+5z-10=0 que passa por (0,10,0) e (0,0,2).

Passo 6

Resumo prático para desenhar rápido (modo “prova, sem complicação”):
  • Calcule interceptos rápido (como no Passo 2).
  • Marque-os num esboço dos eixos.
  • Una formando um triângulo e estenda para um paralelogramo se quiser enfatizar o plano.
  • Se precisar justificar: escreva a forma z=2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}y e o vetor normal (2,1,5).

Passo 7

Exemplo curto para fixar a ideia: se a equação fosse x+y+z-3=0, os interceptos seriam (3,0,0), (0,3,0) e (0,0,3). Mesma receita: marcar os três pontos e traçar o triângulo — sempre funciona.
Força aí — o esboço fica bem rápido quando você lembra: interceptos = pontos fáceis, depois ligar e estender para o plano.

Resposta

Plano com equação 2x+y+5z-10=0; interceptos (5,0,0), (0,10,0) e (0,0,2); forma explícita z=2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}y; vetor normal (2,1,5).

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