Esboce o gráfico da superfície de equação dada: 2 x+y+5 z-10=0.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da superfície definida pela equação 2x+y+5z-10=0.
Informações dadas:
A equação da superfície é 2x+y+5z-10=0.
Não há outras informações adicionais (nenhuma imagem nem restrição sobre x,y,z).
O que vou procurar (sem resolver ainda): pontos de interseção com os eixos, uma forma explícita para z, vetores diretores da superfície e um modo prático de desenhar o plano a partir desses dados.
Passo 2
Encontrar as interseções da superfície com os eixos coordenados — isso nos dá pontos concretos para desenhar.
x-intercepto: ponho y=0 e z=0 na equação e resolvo para x.
Se eu variar x mantendo y fixo, z varia com coeficiente -\dfrac{2}{5} (declive na direção x).
Se eu variar y mantendo x fixo, z varia com coeficiente -\dfrac{1}{5} (declive na direção y).
Isso diz: ao mover 5 unidades em x (com y fixo), z diminui em 2 unidades; ao mover 5 unidades em y, z diminui em 1 unidade. Informação útil para desenhar a inclinação.
Passo 4
Verificar o vetor normal ao plano — isso ajuda a garantir que o esboço esteja orientado corretamente.
Para uma equação da forma ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c). Aqui:
\text{normal}=(2,1,5).
Como verificação alternativa, posso usar os vetores que ligam os pontos interceptos e tomar o produto vetorial.
Esse vetor é múltiplo escalar de (2,1,5) (dividindo por 10 obtemos (2,1,5)), confirmando o vetor normal esperado.]
Passo 5
Descrever como esboçar o plano passo a passo na folha — um procedimento que você pode repetir na prova:
Desenhe três eixos coordenados em perspectiva: por exemplo, eixo x para a direita, eixo y saindo para cima/atrás (diagonal) e eixo z vertical para cima. Marque a origem O.
Marque os interceptos que calculamos:
X=(5,0,0): no eixo x a uma distância proporcional a 5.
Y=(0,10,0): no eixo y a uma distância proporcional a 10.
Z=(0,0,2): no eixo z a uma altura 2.
Una os três pontos X,Y,Z. A superfície plana é a única superfície afim que passa por esses três pontos — desenhe um triângulo ligando-os; esse triângulo é um pedaço do plano.
Para mostrar que o triângulo é parte de um plano infinito, estenda os lados formando um paralelogramo fino (ou desenhe retas passando por pares de pontos no plano).
Opcional: desenhe uma pequena seta saindo de um ponto do plano na direção (2,1,5) para indicar o vetor normal (isso ajuda a visualizar a orientação).
Observações de interseção com planos coordenados (úteis no esboço):
Interseção com o plano z=0: linha 2x+y-10=0 que passa por (5,0,0) e (0,10,0).
Interseção com o plano y=0: linha 2x+5z-10=0 que passa por (5,0,0) e (0,0,2).
Interseção com o plano x=0: linha y+5z-10=0 que passa por (0,10,0) e (0,0,2).
Passo 6
Resumo prático para desenhar rápido (modo “prova, sem complicação”):
Calcule interceptos rápido (como no Passo 2).
Marque-os num esboço dos eixos.
Una formando um triângulo e estenda para um paralelogramo se quiser enfatizar o plano.
Se precisar justificar: escreva a forma z=2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}y e o vetor normal (2,1,5).
Passo 7
Exemplo curto para fixar a ideia: se a equação fosse x+y+z-3=0, os interceptos seriam (3,0,0), (0,3,0) e (0,0,3). Mesma receita: marcar os três pontos e traçar o triângulo — sempre funciona.
Força aí — o esboço fica bem rápido quando você lembra: interceptos = pontos fáceis, depois ligar e estender para o plano.
Resposta
Plano com equação 2x+y+5z-10=0; interceptos (5,0,0), (0,10,0) e (0,0,2); forma explícita z=2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{1}{5}y; vetor normal (2,1,5).