Nos ítens abaixo, encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado. Em seguida, faça um esboço da superfície.
no plano
, em torno do eixo y.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedido: encontrar uma equação da superfície de revolução obtida ao girar a curva dada em torno do eixo
e, em seguida, esboçar essa superfície. - Dado: a curva no plano
é (uma parábola com vértice na origem e que abre para ) e o eixo de rotação é o eixo .
Passo 2
Entender bem a curva geradora antes de girar:
- Reescrevendo a curva obtemos
. - Domínio da parábola:
e, portanto, . - Geometricamente: vértice em
, eixo de simetria é o eixo , abre para cima. Visualize a parábola no plano (com ).
Passo 3
O que significa girar em torno do eixo
(ideia chave):
- Cada ponto da curva original tem coordenadas
. Ao girar esse ponto em torno do eixo ele descreve um círculo no plano horizontal constante, cujo raio é . - No espaço três‑dimensional, o raio horizontal em torno do eixo
é . Para os pontos gerados pela rotação, devemos ter , logo .
Passo 4
Obter a equação da superfície eliminando a variável da curva original:
- Pela curva original temos
. Substituindo na expressão do raio ao quadrado:
- Concluímos que a superfície de revolução é dada implicitamente por
. Não esqueça da restrição natural em : como a parábola original tinha , a superfície corresponde a .
Passo 5
Parametrização útil (opcional, mas ajuda a visualizar e a trabalhar com a superfície):
- Use um parâmetro radial
- Verificação rápida: (x{2}+z{2}=(2u\cos\theta){2}+(2u\sin\theta){2}=4u^{2}=4y], consistente com a equação implícita.]
Passo 6
Características geométricas e como esboçar (passo a passo para desenhar à mão):
- Tipo de superfície: paraboloide circular (paraboloide de revolução) com vértice em
e eixo de simetria ao longo de . Abre na direção . - Seções horizontais: para cada
, a interseção com o plano é o círculo de raio (porque ). Exemplos: em o raio é ; em o raio é . - Seções verticais: a interseção com o plano
é a parábola original . A superfície é obtida girando essa parábola em torno do eixo . - Como esboçar: desenhar o eixo
vertical, traçar a parábola no plano , e desenhar algumas circunferências horizontais de raios para vários para dar a ideia do “vaso” que se abre para cima.
Resposta
Paraboloide de revolução com vértice em
, eixo ao longo de
; seções horizontais
são círculos de raio
.