Nos ítens abaixo, encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado. Em seguida, faça um esboço da superfície.
x^{2}=4 y no plano x y, em torno do eixo y.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: encontrar uma equação da superfície de revolução obtida ao girar a curva dada em torno do eixo y e, em seguida, esboçar essa superfície.
  • Dado: a curva no plano xy é \;x^{2}=4y\; (uma parábola com vértice na origem e que abre para +y) e o eixo de rotação é o eixo y.

Passo 2

Entender bem a curva geradora antes de girar:
  • Reescrevendo a curva obtemos \;y=\dfrac{x^{2}}{4}\;.
  • Domínio da parábola: x\in\mathbb{R} e, portanto, y\ge 0.
  • Geometricamente: vértice em (0,0), eixo de simetria é o eixo y, abre para cima. Visualize a parábola no plano xy (com z=0).

Passo 3

O que significa girar em torno do eixo y (ideia chave):
  • Cada ponto da curva original tem coordenadas (x,y,0). Ao girar esse ponto em torno do eixo y ele descreve um círculo no plano horizontal y= constante, cujo raio é |x|.
  • No espaço três‑dimensional, o raio horizontal em torno do eixo y é \;r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}\;. Para os pontos gerados pela rotação, devemos ter \;r=|x|\;, logo \;r^{2}=x^{2}\;.

Passo 4

Obter a equação da superfície eliminando a variável da curva original:
  • Pela curva original temos \;x^{2}=4y\;. Substituindo na expressão do raio ao quadrado:
x^{2}+z^{2}=4y.
  • Concluímos que a superfície de revolução é dada implicitamente por \;x^{2}+z^{2}=4y\;. Não esqueça da restrição natural em y: como a parábola original tinha y\ge0, a superfície corresponde a \;y\ge0\;.

Passo 5

Parametrização útil (opcional, mas ajuda a visualizar e a trabalhar com a superfície):
  • Use um parâmetro radial u\ge0\) ligado à meia‑abscissa da parábola e um ângulo \(\theta\in[0,2\pi)\). Tomando \(x=2u\) e \(y=u^{2}\) para a curva geradora, ao girar obtém-se a parametrização \[\begin{cases} x=2u\cos\theta,\\[4pt] y=u^{2},\\[4pt] z=2u\sin\theta, \end{cases} \qquad u\ge0,\\ \theta\in[0,2\pi).
  • Verificação rápida: (x{2}+z{2}=(2u\cos\theta){2}+(2u\sin\theta){2}=4u^{2}=4y], consistente com a equação implícita.]

Passo 6

Características geométricas e como esboçar (passo a passo para desenhar à mão):
  • Tipo de superfície: paraboloide circular (paraboloide de revolução) com vértice em (0,0,0) e eixo de simetria ao longo de y. Abre na direção +y.
  • Seções horizontais: para cada \;y=y_{0}\ge0\;, a interseção com o plano y=y_{0} é o círculo de raio \;r=2\sqrt{y_{0}}\; (porque x^{2}+z^{2}=4y_{0}). Exemplos: em y=1 o raio é 2; em y=4 o raio é 4.
  • Seções verticais: a interseção com o plano z=0 é a parábola original \;x^{2}=4y\;. A superfície é obtida girando essa parábola em torno do eixo y.
  • Como esboçar: desenhar o eixo y vertical, traçar a parábola y=x^{2}/4 no plano z=0, e desenhar algumas circunferências horizontais de raios 2\sqrt{y} para vários y para dar a ideia do “vaso” que se abre para cima.

Resposta

x^{2}+z^{2}=4y,\quad y\ge 0.
Paraboloide de revolução com vértice em (0,0,0), eixo ao longo de y; seções horizontais y=\text{const} são círculos de raio 2\sqrt{y}.

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