Esboce o gráfico das superfícies cilíndricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da superfície dada pela equação
.
Informações que o enunciado fornece e que precisamos ter claras:
Informações que o enunciado fornece e que precisamos ter claras:
- A equação dada é
. - Note que a variável
não aparece na equação — isto é uma informação relevante (vou usar isso nos próximos passos). - O que se pede é um esboço no espaço 3D (variáveis
), não apenas o gráfico plano da parábola.
Passo 2
O que significa quando uma equação em
e
não depende de
? Vou explicar devagar:
- Quando a equação não envolve
, qualquer valor de é permitido para cada ponto que satisfaça a relação. - Geometricamente, pegamos a curva no plano
definida por (uma parábola) e “esticamos” essa curva na direção do eixo , formando uma superfície. - Esse tipo de superfície é chamado de superfície cilíndrica (ou simplesmente cilindro) porque a mesma curva (a geratriz ou diretiz) é repetida ao longo de uma reta (a direção dos geradores). Aqui os geradores são linhas paralelas ao eixo
.
Passo 3
Escrevendo isso de forma paramétrica — que ajuda muito a visualizar — podemos usar dois parâmetros: um para andar sobre a parábola e outro para andar ao longo do cilindro. Uma parametrização natural é:
onde
percorre a parábola no plano
e
indica a altura ao longo do eixo
.
Interpretação dos parâmetros:
Interpretação dos parâmetros:
-
é a abscissa ; para cada a coordenada é . -
é simplesmente a coordenada , livre; assim para cada ponto da parábola há uma reta vertical (paralela ao eixo ) de pontos da superfície.
Passo 4
Traços e intersecções que ajudam a desenhar e entender a superfície:
- Traço com plano horizontal
: substituindo obtemos no plano . Ou seja, cada plano horizontal corta a superfície numa parábola idêntica à do plano . Isso confirma a ideia de “empilhar” parábolas. - Traço com plano vertical
: substituindo obtemos com livre — ou seja, uma reta vertical em . Essas retas verticais são os geradores do cilindro. - Traço com plano vertical
: se não há interseção (porque ). Se a interseção são as duas retas verticais para livre.
Passo 5
Como esboçar passo a passo (como eu mesmo faria num pedaço de papel na prova):
- Desenhe um sistema de eixos
, e um eixo vertical saindo para cima (use perspectiva: para a direita, para a frente/para cima do papel dependendo do seu traço, vertical). - No plano
desenhe a parábola : tem vértice em , abre para o lado positivo de , é simétrica em relação a . Para ajudar, marque pontos: , , , , . - Em cada um desses pontos (ou em vários pontos da parábola) desenhe pequenas linhas verticais (paralelas ao eixo
) para cima e para baixo — essas são as geratrizes. Faça isso para alguns (ex.: ). - Una visualmente as «curvas» formadas pelas extremidades dessas linhas verticais: você verá uma série de parábolas paralelas (cada plano
constante corta a mesma parábola). O conjunto é a superfície cilíndrica. - Ao representar em perspectiva, as parábolas no plano
const ficam desenhadas idênticas — cuide da profundidade: as linhas verticais atenuam a sensação de que a superfície se estende indefinidamente para cima e para baixo.
Passo 6
Características importantes para anotar no desenho (e na prova, se quiser justificar):
- A superfície é infinita nas direções positivas e negativas de
. - Simetria: é simétrica em relação ao plano
porque a parábola é par. - Não existe parte da superfície com
— todos os pontos têm . - Interseção com o plano
é exatamente a parábola .
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a ideia (comparações):
- A superfície dada por
é um cilindro circular ao redor do eixo : a curva no plano é um círculo, e ela é repetida para todos os . - A superfície dada por
seria um cilindro de forma ondulada: a curva seno no plano estendida em .
Isto reforça a regra: qualquer curva no planoque não dependa de gera um cilindro ao ser estendida paralelamente ao eixo .
Passo 8
Dicas rápidas para o esboço na prova (checklist):
- Marcar o vértice
e alguns pontos . - Desenhar parábola no plano
. - Desenhar retas verticais em várias
para mostrar que a parábola se repete para todo . - Indicar setas no eixo
para mostrar que se estende indefinidamente. - Escrever a parametrização
ou simplesmente anotar que é livre, para justificar o desenho.
Resposta
Superfície cilíndrica obtida ao estender a parábola
paralelamente ao eixo
. Parametrização: