Esboce o gráfico das superfícies cilíndricas abaixo:
y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da superfície dada pela equação \;y=x^{2}\;.
Informações que o enunciado fornece e que precisamos ter claras:
  • A equação dada é \;y=x^{2}\;.
  • Note que a variável z não aparece na equação — isto é uma informação relevante (vou usar isso nos próximos passos).
  • O que se pede é um esboço no espaço 3D (variáveis x,y,z), não apenas o gráfico plano da parábola.

Passo 2

O que significa quando uma equação em x e y não depende de z? Vou explicar devagar:
  • Quando a equação não envolve z, qualquer valor de z é permitido para cada ponto (x,y) que satisfaça a relação.
  • Geometricamente, pegamos a curva no plano xy definida por \;y=x^{2}\; (uma parábola) e “esticamos” essa curva na direção do eixo z, formando uma superfície.
  • Esse tipo de superfície é chamado de superfície cilíndrica (ou simplesmente cilindro) porque a mesma curva (a geratriz ou diretiz) é repetida ao longo de uma reta (a direção dos geradores). Aqui os geradores são linhas paralelas ao eixo z.

Passo 3

Escrevendo isso de forma paramétrica — que ajuda muito a visualizar — podemos usar dois parâmetros: um para andar sobre a parábola e outro para andar ao longo do cilindro. Uma parametrização natural é:
(x,y,z) = (t,\; t^{2},\; s),
onde \;t\in\mathbb{R}\; percorre a parábola no plano z=0 e \;s\in\mathbb{R}\; indica a altura ao longo do eixo z.
Interpretação dos parâmetros:
  • t é a abscissa x; para cada t a coordenada y é t^{2}.
  • s é simplesmente a coordenada z, livre; assim para cada ponto da parábola há uma reta vertical (paralela ao eixo z) de pontos da superfície.

Passo 4

Traços e intersecções que ajudam a desenhar e entender a superfície:
  • Traço com plano horizontal z=z_{0}: substituindo z=z_{0} obtemos \;y=x^{2}\; no plano z=z_{0}. Ou seja, cada plano horizontal corta a superfície numa parábola idêntica à do plano z=0. Isso confirma a ideia de “empilhar” parábolas.
  • Traço com plano vertical x=x_{0}: substituindo x=x_{0} obtemos y=x_{0}^{2} com z livre — ou seja, uma reta vertical em (x_{0},x_{0}^{2},z). Essas retas verticais são os geradores do cilindro.
  • Traço com plano vertical y=y_{0}: se y_{0}<0 não há interseção (porque x^{2}\ge 0). Se y_{0}\ge 0 a interseção são as duas retas verticais x=\pm\sqrt{y_{0}} para z livre.

Passo 5

Como esboçar passo a passo (como eu mesmo faria num pedaço de papel na prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos x, y e um eixo vertical z saindo para cima (use perspectiva: x para a direita, y para a frente/para cima do papel dependendo do seu traço, z vertical).
  2. No plano z=0 desenhe a parábola \;y=x^{2}\;: tem vértice em (0,0,0), abre para o lado positivo de y, é simétrica em relação a x=0. Para ajudar, marque pontos: (0,0,0), (1,1,0), (-1,1,0), (2,4,0), (-2,4,0).
  3. Em cada um desses pontos (ou em vários pontos da parábola) desenhe pequenas linhas verticais (paralelas ao eixo z) para cima e para baixo — essas são as geratrizes. Faça isso para alguns x (ex.: -2,-1,0,1,2).
  4. Una visualmente as «curvas» formadas pelas extremidades dessas linhas verticais: você verá uma série de parábolas paralelas (cada plano z= constante corta a mesma parábola). O conjunto é a superfície cilíndrica.
  5. Ao representar em perspectiva, as parábolas no plano z=const ficam desenhadas idênticas — cuide da profundidade: as linhas verticais atenuam a sensação de que a superfície se estende indefinidamente para cima e para baixo.

Passo 6

Características importantes para anotar no desenho (e na prova, se quiser justificar):
  • A superfície é infinita nas direções positivas e negativas de z.
  • Simetria: é simétrica em relação ao plano x=0 porque a parábola y=x^{2} é par.
  • Não existe parte da superfície com y<0 — todos os pontos têm y\ge 0.
  • Interseção com o plano z=0 é exatamente a parábola \;y=x^{2}\;.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a ideia (comparações):
  • A superfície dada por \;x^{2}+y^{2}=1\; é um cilindro circular ao redor do eixo z: a curva no plano z=0 é um círculo, e ela é repetida para todos os z.
  • A superfície dada por \;y=\sin x\; seria um cilindro de forma ondulada: a curva seno no plano z=0 estendida em z.
    Isto reforça a regra: qualquer curva no plano xy que não dependa de z gera um cilindro ao ser estendida paralelamente ao eixo z.

Passo 8

Dicas rápidas para o esboço na prova (checklist):
  • Marcar o vértice (0,0,0) e alguns pontos (\pm 1,1,0), (\pm 2,4,0).
  • Desenhar parábola no plano z=0.
  • Desenhar retas verticais em várias x para mostrar que a parábola se repete para todo z.
  • Indicar setas no eixo z para mostrar que se estende indefinidamente.
  • Escrever a parametrização (x,y,z)=(t,t^{2},s) ou simplesmente anotar que z é livre, para justificar o desenho.

Resposta

Superfície cilíndrica obtida ao estender a parábola \;y=x^{2}\; paralelamente ao eixo z. Parametrização: \;(x,y,z)=(t,\;t^{2},\;s),\;t,s\in\mathbb{R}.

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