Se \operatorname{det}(A)=3 \mathrm{e} \operatorname{det}(B)=2, então \operatorname{det}(A B) é:
\bigcirc a. 2
\bigcirc b. 6
\bigcirc c. 3 / 2
\bigcirc d. -6
\bigcirc e. 0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: \det(A)=3 e \det(B)=2. A pergunta do exercício é: qual é o valor de \det(AB)?

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade fundamental dos determinantes, que vale quando A e B são matrizes quadradas compatíveis para multiplicação:
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Explicando com calma: \det(\cdot) é uma função que associa a cada matriz quadrada um número real (o determinante). A igualdade acima diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes de cada uma. Isso é muito útil porque transforma um problema de matriz em multiplicação de números escalares.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade ao nosso caso. Substituímos \det(A)=3 e \det(B)=2 na fórmula:
\det(AB)=\det(A)\det(B)=3\cdot 2.
Fazendo a multiplicação passo a passo: 3\cdot 2=6. Ou seja, pelo cálculo acima chegamos ao valor do determinante do produto.

Passo 4

Para fixar a ideia, veja um exemplo concreto e simples (2×2) que ilustra a propriedade: escolha
A=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Temos \det(A)=3\cdot 1-0\cdot 0=3 e \det(B)=2\cdot 1-0\cdot 0=2. O produto é
AB=\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
e \det(AB)=6\cdot 1-0\cdot 0=6, o que confirma \det(AB)=\det(A)\det(B).]

Resposta

b. 6

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