Resolva as equações:
(a)
(b)
(c)
para
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver as quatro equações diferenciais ordinárias dadas e encontrar as famílias de soluções gerais (constante de integração incluída). As equações são:
(a)
(b)
(c)
para
(d)
Informações relevantes fornecidas: cada equação relaciona
,
(derivada de
em relação a
) e
; em (c) foi dado que
. O objetivo é determinar
(famílias de soluções) para cada caso.
Passo 2
Resolução do item (a).
Reescrevo a equação para explicitar
:
Observação didática sobre o método: aqui podemos tratar como uma equação de primeira ordem linear homogênea ou reconhecer que é separável em forma
. Vou usar a forma
porque é direta e a integral é simples.
Divido ambos os lados por
(assumindo
localmente; a possibilidade
será considerada depois):
Interpretando
como
, integro ambos os lados em
:
A integral do lado esquerdo é
. Para a integral do lado direito uso a substituição
,
, logo
Portanto
Exponenciando e reunindo a constante em um fator multiplicativo
, obtenho a família de soluções
Observação sobre
: se
a solução é
, que satisfaz a equação original (verificação direta). Domain:
definida para todo
, logo solução válida em
.
Passo 3
Resolução do item (b).
Reescrevo a equação isolando
:
Observando que
, a equação fica
Assumindo
localmente (tratamos singularidades depois), escrevo
Esta é uma equação separável: coloco termos em
de um lado e em
do outro:
Agora integro ambos os lados. Para a integral à esquerda uso a substituição
, então
, ou seja
. Assim
A integral à direita é direta:
Igualando e recolhendo constantes:
Exponenciando:
onde
pode ser substituído por
permissivo (podemos permitir sinais no
). Assim escrevo a família de soluções de forma simples:
Portanto
Verificação de casos especiais: para
temos
, i.e.
(soluções constantes) e estão incluídas na família. Não há solução constante
porque substituir
na equação original dá
, impossível.
Passo 4
Resolução do item (c).
Reescrevo a equação para obter
:
Assumindo
localmente e
dado, escrevo
É uma equação separável: multiplico ambos os lados por
e por
:
Integro os dois lados. A integral do lado esquerdo é direta:
Para a integral do lado direito uso a substituição
, daí
e
. Então
Igualando e recolhendo constantes:
Multiplicando por
:
Portanto
Observações: a constante de integração
ajusta o sinal interno para que a raiz seja real; domínio depende de
quando necessário para o logaritmo (ou se
o log é de valor real somente se permitirmos argumento em módulo dentro do logaritmo, já considerado com
acima). A solução constante
não é solução global (substituir na equação dá
, impossível), logo não foi esquecida.
Passo 5
Resolução do item (d).
Reescrevo a equação para isolar
:
Assumindo
localmente e
(tratamos
caso a parte), coloco em forma separável:
Explico a escolha: queremos colocar termos em
do lado esquerdo e em
do lado direito para integrar. A integral à esquerda pede a substituição
, com
, então
. Assim
A integral à direita é
Igualando:
Multiplico por
e exponencio para isolar
:
Escrevo a forma sem valor absoluto e com constante arbitrária
:
Finalmente,
e
Observações sobre soluções constantes especiais: se escolhermos
obtemos
, ou seja
. Se
então existem soluções constantes
; essas constantes estão incluídas na família com
. Também observar que a solução exige cuidado quanto ao domínio (expressão dentro da raiz não-negativa).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)