Resolva as equações:
(a) \left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-x y=0
(b) y^{2}-1-(2 y+x y) y^{\prime}=0
(c) \left(a y x^{2}+b y\right) y^{\prime}-x=0 para a, b, \in \mathbb{R}, a \neq 0
(d) a y^{2}+b-x^{2} y y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver as quatro equações diferenciais ordinárias dadas e encontrar as famílias de soluções gerais (constante de integração incluída). As equações são:
(a) \left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-x y=0
(b) y^{2}-1-(2 y+x y) y^{\prime}=0
(c) \left(a y x^{2}+b y\right) y^{\prime}-x=0 para \;a,b\in\mathbb{R},\;a\neq0
(d) a y^{2}+b-x^{2} y y^{\prime}=0
Informações relevantes fornecidas: cada equação relaciona y, y' (derivada de y em relação a x) e x; em (c) foi dado que a\neq0. O objetivo é determinar y(x) (famílias de soluções) para cada caso.

Passo 2

Resolução do item (a).
Reescrevo a equação para explicitar y':
\left(1+x^{2}\right)y' - x y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{x}{1+x^{2}}\,y.
Observação didática sobre o método: aqui podemos tratar como uma equação de primeira ordem linear homogênea ou reconhecer que é separável em forma \frac{y'}{y} = \frac{x}{1+x^{2}}. Vou usar a forma \frac{y'}{y} porque é direta e a integral é simples.
Divido ambos os lados por y (assumindo y\neq0 localmente; a possibilidade y\equiv0 será considerada depois):
\frac{y'}{y} = \frac{x}{1+x^{2}}.
Interpretando \frac{y'}{y} como \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}, integro ambos os lados em x:
\int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\,dx = \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
A integral do lado esquerdo é \ln|y|. Para a integral do lado direito uso a substituição u=1+x^{2}, du=2x\,dx, logo
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.
Portanto
\ln|y| = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.
Exponenciando e reunindo a constante em um fator multiplicativo K = \pm e^{C}, obtenho a família de soluções
y(x) = K\sqrt{1+x^{2}},\quad K\in\mathbb{R}.
Observação sobre y\equiv0: se K=0 a solução é y\equiv0, que satisfaz a equação original (verificação direta). Domain: \sqrt{1+x^{2}} definida para todo x, logo solução válida em \mathbb{R}.

Passo 3

Resolução do item (b).
Reescrevo a equação isolando y':
y^{2}-1-(2y + x y)y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad (2+y x?)\\ \text{(corrijo fator)}.
Observando que 2y + x y = y(2+x), a equação fica
y^{2}-1 - y(2+x)\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(2+x)\,y' = y^{2}-1.
Assumindo y\neq0 localmente (tratamos singularidades depois), escrevo
y' = \frac{y^{2}-1}{y(2+x)}.
Esta é uma equação separável: coloco termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{y}{y^{2}-1}\,dy = \frac{dx}{x+2}.
Agora integro ambos os lados. Para a integral à esquerda uso a substituição u = y^{2}-1, então du = 2y\,dy, ou seja y\,dy = du/2. Assim
\int \frac{y}{y^{2}-1}\,dy = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|y^{2}-1| + C_1.
A integral à direita é direta:
\int \frac{dx}{x+2} = \ln|x+2| + C_2.
Igualando e recolhendo constantes:
\frac{1}{2}\ln|y^{2}-1| = \ln|x+2| + C \quad\Longrightarrow\quad \ln|y^{2}-1| = 2\ln|x+2| + C'.
Exponenciando:
|y^{2}-1| = C''(x+2)^{2},
onde C''>0 pode ser substituído por C\in\mathbb{R} permissivo (podemos permitir sinais no C). Assim escrevo a família de soluções de forma simples:
y^{2}-1 = C(x+2)^{2},\quad C\in\mathbb{R}.
Portanto
y(x) = \pm\sqrt{\,1 + C(x+2)^{2}\,},\quad C\in\mathbb{R}.
Verificação de casos especiais: para C=0 temos y^{2}=1, i.e. y\equiv\pm1 (soluções constantes) e estão incluídas na família. Não há solução constante y\equiv0 porque substituir y=0 na equação original dá -1=0, impossível.

Passo 4

Resolução do item (c).
Reescrevo a equação para obter y':
\left(a y x^{2}+b y\right)y' - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \left(y(ax^{2}+b)\right)y' = x.
Assumindo y\neq0 localmente e a\neq0 dado, escrevo
y' = \frac{x}{y(ax^{2}+b)}.
É uma equação separável: multiplico ambos os lados por y e por dx:
y\,dy = \frac{x\,dx}{a x^{2}+b}.
Integro os dois lados. A integral do lado esquerdo é direta:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_1.
Para a integral do lado direito uso a substituição u = a x^{2}+b, daí du = 2a x\,dx e x\,dx = du/(2a). Então
\int \frac{x\,dx}{a x^{2}+b} = \frac{1}{2a}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2a}\ln|a x^{2}+b| + C_2.
Igualando e recolhendo constantes:
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{2a}\ln|a x^{2}+b| + C.
Multiplicando por 2:
y^{2} = \frac{1}{a}\ln|a x^{2}+b| + C_1,\quad C_1\in\mathbb{R}.
Portanto
y(x) = \pm\sqrt{\,\frac{1}{a}\ln|a x^{2}+b| + C_1\, }.
Observações: a constante de integração C_1 ajusta o sinal interno para que a raiz seja real; domínio depende de a x^{2}+b>0 quando necessário para o logaritmo (ou se a x^{2}+b<0 o log é de valor real somente se permitirmos argumento em módulo dentro do logaritmo, já considerado com |\cdot| acima). A solução constante y\equiv0 não é solução global (substituir na equação dá -x=0, impossível), logo não foi esquecida.

Passo 5

Resolução do item (d).
Reescrevo a equação para isolar y':
a y^{2}+b - x^{2} y y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} y y' = a y^{2}+b.
Assumindo y\neq0 localmente e x\neq0 (tratamos x=0 caso a parte), coloco em forma separável:
\frac{y}{a y^{2}+b}\,dy = \frac{dx}{x^{2}}.
Explico a escolha: queremos colocar termos em y do lado esquerdo e em x do lado direito para integrar. A integral à esquerda pede a substituição u = a y^{2}+b, com du = 2a y\,dy, então y\,dy = du/(2a). Assim
\int \frac{y}{a y^{2}+b}\,dy = \frac{1}{2a}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2a}\ln|a y^{2}+b| + C_1.
A integral à direita é
\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C_2.
Igualando:
\frac{1}{2a}\ln|a y^{2}+b| = -\frac{1}{x} + C.
Multiplico por 2a e exponencio para isolar y:
\ln|a y^{2}+b| = -\frac{2a}{x} + C' \quad\Longrightarrow\quad |a y^{2}+b| = C'' e^{-2a/x}.
Escrevo a forma sem valor absoluto e com constante arbitrária C\in\mathbb{R}:
a y^{2}+b = C e^{-2a/x}.
Finalmente,
y^{2} = \frac{1}{a}\big(C e^{-2a/x} - b\big)
e
y(x) = \pm\sqrt{\,\frac{1}{a}\big(C e^{-2a/x} - b\big)\,},\quad C\in\mathbb{R}.
Observações sobre soluções constantes especiais: se escolhermos C=0 obtemos a y^{2}+b=0, ou seja y^{2}=-\tfrac{b}{a}. Se -\tfrac{b}{a}\ge0 então existem soluções constantes y\equiv\pm\sqrt{-b/a}; essas constantes estão incluídas na família com C=0. Também observar que a solução exige cuidado quanto ao domínio (expressão dentro da raiz não-negativa).

Resposta

(a) y(x)=K\sqrt{1+x^{2}},\quad K\in\mathbb{R}.
(b) y(x)=\pm\sqrt{\,1 + C(x+2)^{2}\,},\quad C\in\mathbb{R}.
(c) y(x)=\pm\sqrt{\,\dfrac{1}{a}\ln|a x^{2}+b| + C_1\,},\quad C_1\in\mathbb{R}.
(d) y(x)=\pm\sqrt{\,\dfrac{1}{a}\big(C e^{-2a/x} - b\big)\,},\quad C\in\mathbb{R}.

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