Esboce o gráfico de
como uma superfície em
.
Passo 1
O enunciado pede: "Esboce o gráfico de
como uma superfície em
".
Informações dadas e o que devemos produzir:
Informações dadas e o que devemos produzir:
- A equação fornecida é
. - Devemos interpretar essa equação no espaço com coordenadas
e esboçar a superfície correspondente em . - Observação importante: a equação não envolve
, então qualquer informação sobre é livre (não especificada pelo enunciado).
Passo 2
Interpretação geométrica direta (sem cálculo ainda): a condição
impõe uma relação entre
e
igual à curva exponencial do plano
. Como não há nenhuma restrição sobre
, essa curva é “esticada” em toda a direção do eixo
. Em linguagem geométrica: obtemos um cilindro (no sentido de superfície gerada por translação) cujo gerador é a reta paralela ao eixo
e cuja curva directriz é
no plano
.
Passo 3
Uma descrição paramétrica útil — vamos parametrizar a superfície para entendê‑la e facilitar esboço. Use parâmetros
(para
) e
(para
):
Explanação do que cada variável representa:
-
percorre toda a curva exponencial (é o mesmo que ); -
corresponde à coordenada , livre para qualquer valor, isto é, alongamos a curva ao longo do eixo .
Passo 4
Mostre por que isso é de fato uma superfície regular (curiosidade útil na prova): calcule as derivadas parciais
Esses vetores são linearmente independentes para todo
(porque
tem componente em
não nula enquanto
tem 0 em
), então a parametrização é regular — em palavras: em cada ponto há um plano tangente bem definido. O produto vetorial (normal) é
que notamos não depende de
e confirma que a normal não tem componente em
(a superfície é “vertical” em relação ao eixo
).
Passo 5
Caracterize interseções (ajuda a desenhar):
- Interseção com planos horizontais
: para cada fixo a interseção é a curva no plano . Ou seja, todas as “fatias” horizontais são a mesma curva exponencial deslocada em . - Interseção com planos verticais
: para fixo a interseção é a reta paralela ao eixo (uma reta vertical). Isso mostra explicitamente que a superfície é formada por retas paralelas ao eixo (surface rulings).
Passo 6
Características importantes do esboço (o que desenhar e o que observar):
- No plano
desenhe a curva : ela passa por , cresce rapidamente para e tende a quando . Nunca corta o eixo . - Em seguida, em vários pontos dessa curva (por exemplo em
) trace retas verticais (paralelas ao eixo ) passando por . Essas retas representam os geradores da superfície. Repetindo para valores positivos e negativos de você obtém a “cortina” ou “parede” exponencial que se estende em ambas as direções do eixo . - Sombreamento: a superfície é infinita em
(em ambas as direções) e em (em ambas as direções), e em tem valores somente positivos (porque ).
Passo 7
Instruções práticas para desenhar à mão (passo a passo do esboço):
- Desenhe três eixos perpendiculares e rotule-os
(para a direita), (para cima) e (saindo/perto do observador ou para cima em perspectiva — escolha uma convenção consistente). - No plano
trace a curva : marque pontos como , , , , e ligue suavemente. Lembre que para a curva se aproxima do eixo . - Em cada um desses pontos levante uma reta paralela ao eixo
(ou seja, desenhe uma linha vertical na projeção que você escolheu). Faça isso para várias para dar “espessura” ao tecido da superfície. - Complete conectando suavemente as linhas verticais pela forma geral da curva quando necessário e faça um sombreamento leve para dar volume.
- Opcional: desenhe uma ou duas curvas de nível (interseções com
) para mostrar as retas verticais e uma fatia horizontal para mostrar a curva base.
Passo 8
Resumo conceitual curto (para lembrar na prova): a superfície é o conjunto
ou seja, o gráfico da função
estendido (transladado) ao longo do eixo
. É um cilindro (não circular) ou uma “cortina exponencial” com geradores paralelos ao eixo
.
Resposta
A superfície é
, parametrizada por
com
.