Esboce o gráfico de y=e^{x} como uma superfície em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: "Esboce o gráfico de y=e^{x} como uma superfície em \mathbb{R}^{3}".
Informações dadas e o que devemos produzir:
  • A equação fornecida é \;y=e^{x}\;.
  • Devemos interpretar essa equação no espaço com coordenadas (x,y,z) e esboçar a superfície correspondente em \mathbb{R}^{3}.
  • Observação importante: a equação não envolve z, então qualquer informação sobre z é livre (não especificada pelo enunciado).

Passo 2

Interpretação geométrica direta (sem cálculo ainda): a condição \;y=e^{x}\; impõe uma relação entre x e y igual à curva exponencial do plano xy. Como não há nenhuma restrição sobre z, essa curva é “esticada” em toda a direção do eixo z. Em linguagem geométrica: obtemos um cilindro (no sentido de superfície gerada por translação) cujo gerador é a reta paralela ao eixo z e cuja curva directriz é \;y=e^{x}\; no plano z=0.

Passo 3

Uma descrição paramétrica útil — vamos parametrizar a superfície para entendê‑la e facilitar esboço. Use parâmetros u (para x) e v (para z):
\mathbf{r}(u,v) = (u,\; e^{u},\; v),\qquad u\in\mathbb{R},\; v\in\mathbb{R}.
Explanação do que cada variável representa:
  • u percorre toda a curva exponencial (é o mesmo que x);
  • v corresponde à coordenada z, livre para qualquer valor, isto é, alongamos a curva ao longo do eixo z.

Passo 4

Mostre por que isso é de fato uma superfície regular (curiosidade útil na prova): calcule as derivadas parciais
\mathbf{r}_u=(1,\; e^{u},\; 0),\qquad \mathbf{r}_v=(0,\;0,\;1).
Esses vetores são linearmente independentes para todo u (porque \mathbf{r}_v tem componente em z não nula enquanto \mathbf{r}_u tem 0 em z), então a parametrização é regular — em palavras: em cada ponto há um plano tangente bem definido. O produto vetorial (normal) é
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=(e^{u},\;-1,\;0),
que notamos não depende de v e confirma que a normal não tem componente em z (a superfície é “vertical” em relação ao eixo z).

Passo 5

Caracterize interseções (ajuda a desenhar):
  • Interseção com planos horizontais z=c: para cada c fixo a interseção é a curva \;y=e^{x}\; no plano z=c. Ou seja, todas as “fatias” horizontais são a mesma curva exponencial deslocada em z.
  • Interseção com planos verticais x=a: para x=a fixo a interseção é a reta \;y=e^{a} paralela ao eixo z (uma reta vertical). Isso mostra explicitamente que a superfície é formada por retas paralelas ao eixo z (surface rulings).

Passo 6

Características importantes do esboço (o que desenhar e o que observar):
  • No plano z=0 desenhe a curva \;y=e^{x}\;: ela passa por (0,1), cresce rapidamente para x\to+\infty e tende a y\to0^{+} quando x\to-\infty. Nunca corta o eixo y=0.
  • Em seguida, em vários pontos dessa curva (por exemplo em x=-2,-1,0,1,2) trace retas verticais (paralelas ao eixo z) passando por (x,e^{x},0). Essas retas representam os geradores da superfície. Repetindo para valores positivos e negativos de z você obtém a “cortina” ou “parede” exponencial que se estende em ambas as direções do eixo z.
  • Sombreamento: a superfície é infinita em x (em ambas as direções) e em z (em ambas as direções), e em y tem valores somente positivos (porque e^{x}>0).

Passo 7

Instruções práticas para desenhar à mão (passo a passo do esboço):
  1. Desenhe três eixos perpendiculares e rotule-os x (para a direita), y (para cima) e z (saindo/perto do observador ou para cima em perspectiva — escolha uma convenção consistente).
  2. No plano z=0 trace a curva \;y=e^{x}\;: marque pontos como ({-2},e^{-2}), (-1,e^{-1}), (0,1), (1,e), (2,e^{2}) e ligue suavemente. Lembre que para x\ll0 a curva se aproxima do eixo y=0.
  3. Em cada um desses pontos levante uma reta paralela ao eixo z (ou seja, desenhe uma linha vertical na projeção que você escolheu). Faça isso para várias x para dar “espessura” ao tecido da superfície.
  4. Complete conectando suavemente as linhas verticais pela forma geral da curva quando necessário e faça um sombreamento leve para dar volume.
  5. Opcional: desenhe uma ou duas curvas de nível (interseções com x=a) para mostrar as retas verticais e uma fatia horizontal para mostrar a curva base.

Passo 8

Resumo conceitual curto (para lembrar na prova): a superfície é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=e^{x}\},
ou seja, o gráfico da função y=e^{x} estendido (transladado) ao longo do eixo z. É um cilindro (não circular) ou uma “cortina exponencial” com geradores paralelos ao eixo z.

Resposta

A superfície é \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=e^{x}\}, parametrizada por \mathbf{r}(u,v)=(u,e^{u},v) com u\in\mathbb{R},\;v\in\mathbb{R}.

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