Calcule a integral de superfície
, onde
é a superfície esférica
, orientada para cima.
Escolha uma opção:
a.
◯
b. 36 ◯
C.
◯
d. Nenhuma das Respostas ◯
e.
◯
Escolha uma opção:
a.
b. 36 ◯
C.
d. Nenhuma das Respostas ◯
e.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a esfera
orientada para cima.
Informações dadas e perguntas explícitas:
Informações dadas e perguntas explícitas:
- A superfície é a esfera fechada de raio
: . - A orientação é “para cima” (no caso da esfera, isto corresponde à normal apontando para fora, que tem componente
positiva na metade superior). - Queremos o valor numérico da integral de superfície indicada.
Passo 2
Interpretação do integrando e escolha do método.
A expressão
A expressão
é a forma usual de escrever o fluxo de um campo vetorial
através de
, com a convenção padrão
de modo que o integrando corresponde ao fluxo de
através de
. Como
é uma superfície fechada (a esfera), a maneira mais simples é usar o Teorema da Divergência (Gauss), que transforma a integral de superfície num integral de volume — muito mais fácil aqui por simetria.
Passo 3
Enunciando o Teorema da Divergência e calculando a divergência.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo suficientemente suave e um domínio volumétrico
com fronteira
orientada para fora,
O Teorema da Divergência diz que, para um campo
Aqui
,
,
. A divergência é
Calculando cada derivada:
Portanto
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência.
Seja a bola sólida de raio
(o interior da esfera
). Pelo teorema,
Seja
É conveniente calcular esse integral em coordenadas esféricas.
Passo 5
Coordenadas esféricas e elemento de volume.
Em coordenadas esféricas usamos
Em coordenadas esféricas usamos
com
,
(ângulo polar) e
(azimute). O elemento de volume é
Além disso
. Assim o integrando fica
e o integrando total em esféricas é
.
Passo 6
Cálculo do integral triple.
Escrevemos
Escrevemos
Calculemos cada parte:
- Integral radial:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando tudo e o fator
:
Passo 7
Verificação da orientação.
A orientação pedida (“orientada para cima”) corresponde à escolha da normal com componente positiva na metade superior, isto é, à normal externa da esfera; isso é compatível com o uso do Teorema da Divergência (que usa a normal para fora). Logo o sinal está correto e o resultado final é o calculado.
A orientação pedida (“orientada para cima”) corresponde à escolha da normal com componente