Calcule a integral de superfície \iint_{S} x^{3} d y d z+y^{3} d x d z+z^{3} d x d y, onde S é a superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, orientada para cima.
Escolha uma opção:
a. 6 \pi a^{2}
b. 36 ◯
C. \quad \frac{12 \pi a^{5}}{5}
d. Nenhuma das Respostas ◯
e. \quad \frac{9 \pi}{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{3}\,dy\,dz + y^{3}\,dx\,dz + z^{3}\,dx\,dy,
onde S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} orientada para cima.
Informações dadas e perguntas explícitas:
  • A superfície é a esfera fechada de raio a: S:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.
  • A orientação é “para cima” (no caso da esfera, isto corresponde à normal apontando para fora, que tem componente z positiva na metade superior).
  • Queremos o valor numérico da integral de superfície indicada.

Passo 2

Interpretação do integrando e escolha do método.
A expressão
x^{3}\,dy\,dz + y^{3}\,dx\,dz + z^{3}\,dx\,dy
é a forma usual de escrever o fluxo de um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) através de S, com a convenção padrão
d\mathbf{S}=(dy\,dz,\;dz\,dx,\;dx\,dy),
de modo que o integrando corresponde ao fluxo de
\mathbf{F}=(x^{3},y^{3},z^{3})
através de S. Como S é uma superfície fechada (a esfera), a maneira mais simples é usar o Teorema da Divergência (Gauss), que transforma a integral de superfície num integral de volume — muito mais fácil aqui por simetria.

Passo 3

Enunciando o Teorema da Divergência e calculando a divergência.
O Teorema da Divergência diz que, para um campo \mathbf{F}=(P,Q,R) suficientemente suave e um domínio volumétrico V com fronteira S=\partial V orientada para fora,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Aqui P(x,y,z)=x^{3}, Q(x,y,z)=y^{3}, R(x,y,z)=z^{3}. A divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Calculando cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2},\quad \frac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2},\quad \frac{\partial}{\partial z}(z^{3})=3z^{2}.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{F}=3(x^{2}+y^{2}+z^{2}).

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência.
Seja V a bola sólida de raio a (o interior da esfera S). Pelo teorema,
\iint_{S} x^{3}\,dy\,dz + y^{3}\,dx\,dz + z^{3}\,dx\,dy = \iiint_{V} 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV.
É conveniente calcular esse integral em coordenadas esféricas.

Passo 5

Coordenadas esféricas e elemento de volume.
Em coordenadas esféricas usamos
x=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta,
com r\in[0,a], \theta\in[0,\pi] (ângulo polar) e \varphi\in[0,2\pi] (azimute). O elemento de volume é
dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Além disso x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Assim o integrando fica 3r^{2} e o integrando total em esféricas é 3r^{2}\cdot r^{2}\sin\theta = 3r^{4}\sin\theta.

Passo 6

Cálculo do integral triple.
Escrevemos
\iiint_{V} 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV =3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} r^{4}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Calculemos cada parte:
  • Integral radial:
\int_{0}^{a} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{5}}{5}.
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi}=2.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
Multiplicando tudo e o fator 3:
3\cdot \frac{a^{5}}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{3\cdot 4\pi a^{5}}{5}=\frac{12\pi a^{5}}{5}.

Passo 7

Verificação da orientação.
A orientação pedida (“orientada para cima”) corresponde à escolha da normal com componente z positiva na metade superior, isto é, à normal externa da esfera; isso é compatível com o uso do Teorema da Divergência (que usa a normal para fora). Logo o sinal está correto e o resultado final é o calculado.

Resposta

\displaystyle \frac{12\pi a^{5}}{5}

Exercícios relacionados