Descreva e esboce a superfície
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície pela equação
e pede duas coisas: (1) descrever as propriedades geométricas e analíticas principais dessa superfície; (2) esboçá‑la (ou seja, explicar como desenhar um rascunho fiel). Informações fornecidas: a regra que associa a cada par
um valor de
é
. Não há outras restrições explícitas sobre
ou
.
Passo 2
Domínio e imagem (intervalos dos valores possíveis):
- Domínio:
porque a fórmula está definida para todo real. - Imagem (valores possíveis de
): pois é sempre positivo. Em notação: .
Comentário pedagógico: a função exponencialtende para quando e cresce sem limite quando . Esses fatos vão determinar o formato vertical da superfície.
Passo 3
Interpretação como superfície gerada por translação (descrição intuitiva):
- A equação
não depende de . Isso significa que, se eu fixar um valor de , o valor de é constante para todos os . Geometricamente, a curva planar no plano vertical é simplesmente “arrastada” (transladada) em todas as direções paralelas ao eixo . Logo, a superfície é uma “superfície cilíndrica” cuja geratriz é paralela ao eixo e cuja directriz é a curva exponencial no plano ou .
Explicação passo a passo: imagine a curva no planoque é a clássica exponencial; para cada ponto dessa curva, traço uma linha paralela ao eixo ; o conjunto dessas linhas é a superfície pedida.
Passo 4
Traços (cortes) úteis para entender o formato — como analisar na prova:
- Traço em planos
constante: fixando obtemos a curva no plano dada por . É exatamente a curva exponencial usual (aumenta para a direita em , aproxima‑se de para , atravessa ). - Traço em planos
constante: fixando obtemos que é constante; variando aparece uma reta paralela ao eixo situada à altura e no plano . - Traço em planos
constante: para com fixo, da equação decorre e livre. Então a interseção com é uma reta paralela ao eixo localizada na linha .
Passo 5
Pontos notáveis e comportamento assintótico (o que marcar no esboço):
- Ponto quando
: . - Para
por exemplo: . Para : . - Assíntota: não há assíntota vertical em
, mas em termos de existe a aproximação quando . Ou seja, a superfície se aproxima do plano (o plano ) por baixo, sem tocá‑lo. - Crescimento: à medida que
, .
Passo 6
Derivadas parciais e inclinação (como ver a inclinação nas direções
e
):
- Cálculo das parciais:
e .
Interpretação didática: a variação em direçãoé zero — a superfície é plana nessa direção (linhas geratrizes paralelas a ). A variação em direção é positiva e igual a — quanto maior (ou ), mais inclinada fica a superfície na direção do aumento de .
Passo 7
Tabela de pontos simples para rascunho (use na prova para plotar pontos):
-
. Escolha alguns (por ex. ) e marque as retas horizontais correspondentes. -
. -
. -
. -
.
Marque esses pontos no plano verticale, para cada um, desenhe uma linha paralela ao eixo .
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem calcular muito):
- Desenhe os três eixos
, e (com vertical, apontando para a frente/direita e para a direita/esquerda conforme sua convenção). - No plano que contém os eixos
e (por exemplo o plano ), desenhe a curva : passa por , decai rapidamente para perto de quando é negativo, e sobe exponencialmente quando é positivo. - Para vários
(por ex. ) desenhe retas paralelas ao eixo posicionadas às alturas . Essas retas formam o “casco” da superfície. - Sombreie levemente para indicar que o conjunto de retas preenche a superfície, e indique que ela não toca
(aproxima-se dele). - Opcional: desenhe uma seta ao longo do sentido positivo de
mostrando que cresce exponencialmente.
Passo 9
Intuição final e dicas de prova:
- Sempre que você ver
sem dependência de , pense imediatamente em "curva no plano " extrudada ao longo do eixo — isso economiza tempo. - Lembre que o sinal das derivadas parciais dá a inclinação nas direções coordenadas: aqui
e . - Para esboços rápidos, bastam três ou quatro curvas horizontais e duas ou três retas paralelas ao eixo
: o examinador quer ver que você reconhece a extrusão da exponencial.
Resposta
Descrição: superfície definida para todos
com imagem
; é obtida ao transladar a curva
(no plano
const) ao longo do eixo
; para
tem
e para
tem
.
Esboço: desenhar a curva exponencial
no plano
, marcar pontos como
e, em cada um, traçar retas paralelas ao eixo
(a superfície é a união dessas retas).