Descreva e esboce a superfície z=e^{y}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície pela equação \;z = e^{y}\; e pede duas coisas: (1) descrever as propriedades geométricas e analíticas principais dessa superfície; (2) esboçá‑la (ou seja, explicar como desenhar um rascunho fiel). Informações fornecidas: a regra que associa a cada par (x,y) um valor de z é \;z=e^{y}\;. Não há outras restrições explícitas sobre x ou y.

Passo 2

Domínio e imagem (intervalos dos valores possíveis):
  • Domínio: \;x\in\mathbb{R},\;y\in\mathbb{R}\; porque a fórmula e^{y} está definida para todo y real.
  • Imagem (valores possíveis de z): \;z>0\; pois e^{y} é sempre positivo. Em notação: \operatorname{Im}=\{z\in\mathbb{R}\mid z>0\}.
    Comentário pedagógico: a função exponencial e^{y} tende para 0 quando y\to -\infty e cresce sem limite quando y\to+\infty. Esses fatos vão determinar o formato vertical da superfície.

Passo 3

Interpretação como superfície gerada por translação (descrição intuitiva):
  • A equação \;z=e^{y}\; não depende de x. Isso significa que, se eu fixar um valor de y, o valor de z é constante para todos os x. Geometricamente, a curva planar \;z=e^{y}\; no plano vertical (y,z) é simplesmente “arrastada” (transladada) em todas as direções paralelas ao eixo x. Logo, a superfície é uma “superfície cilíndrica” cuja geratriz é paralela ao eixo x e cuja directriz é a curva exponencial no plano xz ou yz.
    Explicação passo a passo: imagine a curva no plano (y,z) que é a clássica exponencial; para cada ponto dessa curva, traço uma linha paralela ao eixo x; o conjunto dessas linhas é a superfície pedida.

Passo 4

Traços (cortes) úteis para entender o formato — como analisar na prova:
  • Traço em planos x= constante: fixando \;x=x_0\; obtemos a curva no plano (y,z) dada por \;z=e^{y}\;. É exatamente a curva exponencial usual (aumenta para a direita em y, aproxima‑se de z=0 para y\to -\infty, atravessa (y,z)=(0,1)).
  • Traço em planos y= constante: fixando \;y=y_0\; obtemos \;z=e^{y_0}\; que é constante; variando x aparece uma reta paralela ao eixo x situada à altura z=e^{y_0} e no plano y=y_0.
  • Traço em planos z= constante: para \;z=c>0\; com c fixo, da equação decorre \;y=\ln c\; e x livre. Então a interseção com z=c é uma reta paralela ao eixo x localizada na linha (x,y,z)=(x,\ln c,c).

Passo 5

Pontos notáveis e comportamento assintótico (o que marcar no esboço):
  • Ponto quando x=0,y=0: (0,0,1).
  • Para y=1 por exemplo: z=e^{1}=e\approx 2,718. Para y=-1: z=e^{-1}\approx 0,3679.
  • Assíntota: não há assíntota vertical em y, mas em termos de z existe a aproximação \;z\to 0^{+} quando y\to -\infty. Ou seja, a superfície se aproxima do plano z=0 (o plano xy) por baixo, sem tocá‑lo.
  • Crescimento: à medida que y\to+\infty, z\to+\infty.

Passo 6

Derivadas parciais e inclinação (como ver a inclinação nas direções x e y):
  • Cálculo das parciais: \;z_x=\frac{\partial}{\partial x}e^{y}=0\; e \;z_y=\frac{\partial}{\partial y}e^{y}=e^{y}=z\;.
    Interpretação didática: a variação em direção x é zero — a superfície é plana nessa direção (linhas geratrizes paralelas a x). A variação em direção y é positiva e igual a z — quanto maior y (ou z), mais inclinada fica a superfície na direção do aumento de y.

Passo 7

Tabela de pontos simples para rascunho (use na prova para plotar pontos):
  • \;y=-2 \Rightarrow z=e^{-2}\approx 0,1353. Escolha alguns x (por ex. -2,0,2) e marque as retas horizontais correspondentes.
  • \;y=-1 \Rightarrow z=e^{-1}\approx 0,3679.
  • \;y=0 \Rightarrow z=1.
  • \;y=1 \Rightarrow z=e\approx 2,718.
  • \;y=2 \Rightarrow z=e^{2}\approx 7,389.
    Marque esses pontos no plano vertical (y,z) e, para cada um, desenhe uma linha paralela ao eixo x.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem calcular muito):
  1. Desenhe os três eixos x, y e z (com z vertical, x apontando para a frente/direita e y para a direita/esquerda conforme sua convenção).
  2. No plano que contém os eixos y e z (por exemplo o plano x=0), desenhe a curva \;z=e^{y}\;: passa por (y,z)=(0,1), decai rapidamente para perto de z=0 quando y é negativo, e sobe exponencialmente quando y é positivo.
  3. Para vários y (por ex. y=-2,-1,0,1,2) desenhe retas paralelas ao eixo x posicionadas às alturas z=e^{y}. Essas retas formam o “casco” da superfície.
  4. Sombreie levemente para indicar que o conjunto de retas preenche a superfície, e indique que ela não toca z=0 (aproxima-se dele).
  5. Opcional: desenhe uma seta ao longo do sentido positivo de y mostrando que z cresce exponencialmente.

Passo 9

Intuição final e dicas de prova:
  • Sempre que você ver \;z=f(y)\; sem dependência de x, pense imediatamente em "curva no plano y\!z" extrudada ao longo do eixo x — isso economiza tempo.
  • Lembre que o sinal das derivadas parciais dá a inclinação nas direções coordenadas: aqui z_x=0 e z_y>0.
  • Para esboços rápidos, bastam três ou quatro curvas horizontais e duas ou três retas paralelas ao eixo x: o examinador quer ver que você reconhece a extrusão da exponencial.

Resposta

Descrição: superfície definida para todos (x,y)\in\mathbb{R}^2 com imagem z>0; é obtida ao transladar a curva \;z=e^{y}\; (no plano x=const) ao longo do eixo x; para y\to-\infty tem z\to0^+ e para y\to+\infty tem z\to+\infty.
Esboço: desenhar a curva exponencial \;z=e^{y}\; no plano x=0, marcar pontos como (y,z)=(-2,e^{-2}),(-1,e^{-1}),(0,1),(1,e),(2,e^{2}) e, em cada um, traçar retas paralelas ao eixo x (a superfície é a união dessas retas).

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