Esboce os gráficos, em coordenadas cartesianas, das seguintes equações polares:
(b)
$r=2 \cos (\theta);

Passo 1

O enunciado pede o esboço, em coordenadas cartesianas, da curva polar
r = 2\cos(\theta).
Para isso vamos usar a conversão de coordenadas polares para cartesianas e reconhecer o lugar geométrico resultante.

Passo 2

Lembrando que em coordenadas polares valem as relações
x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta), \quad r^2 = x^2 + y^2.
Substituindo r = 2\cos(\theta) em r^2 = x^2+y^2, multiplica-se ambos os lados por r:

Passo 3

r^2 = 2r\cos(\theta) \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 2\,x,
pois r\cos(\theta)=x.

Passo 4

Reescrevendo x^2 + y^2 = 2x na forma de círculo completa-se o quadrado em x:
x^2 - 2x + y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2 + y^2 = 1.
Isto é a equação de um círculo de raio 1 centrado em (1,0).

Passo 5

Embora o lugar geométrico completo seja esse círculo, na forma polar original r=2\cos(\theta) temos r\ge0, ou seja \cos(\theta)\ge0. Logo o traço efetivo ocorre para
-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},
que pinta exatamente o semicírculo direito de centro (1,0) e raio 1.

Resposta

A curva representa o semicírculo direito do círculo (x-1)^2 + y^2 = 1, isto é, um círculo de raio 1 centrado em (1,0), traçado para -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

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