Esboce os gráficos, em coordenadas cartesianas, das seguintes equações polares:
(c)
$r=2 \operatorname{sen}(\theta);

Passo 1

O enunciado pede o esboço, em coordenadas cartesianas, da curva em coordenadas polares
r = 2\operatorname{sen}(\theta).
Para isso, vamos usar a relação entre coordenadas polares e cartesianas e obter a equação cartesiana.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
r\sin(\theta)=y\quad\text{e}\quad r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Multiplicando a equação polar por r, obtemos
r^{2}=2\,r\sin(\theta).
Substituindo em termos de x e y:
x^{2}+y^{2}=2y.

Passo 3

Reescrevendo em forma de circunferência, completamos o quadrado em y:
x^{2}+y^{2}-2y=0\;\Longrightarrow\;x^{2}+(y-1)^{2}=1.
Isso mostra que a curva é uma circunferência de centro (0,1) e raio 1.

Passo 4

Em polares temos r\ge0, logo 2\operatorname{sen}(\theta)\ge0 implica \operatorname{sen}(\theta)\ge0 e, portanto, \theta varia em [0,\pi]. À medida que \theta vai de 0 a \pi, o ponto polar percorre exatamente toda a circunferência x^{2}+(y-1)^{2}=1, começando e terminando em (0,0).

Passo 5

O esboço em coordenadas cartesianas é a circunferência de centro em (0,1) e raio 1, tangente à origem. O “topo” da circunferência alcança (0,2) quando \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

A curva é a circunferência de centro (0,1) e raio 1, dada por
x^{2}+(y-1)^{2}=1.

Exercícios relacionados