Esboce os gráficos, em coordenadas cartesianas, das seguintes equações polares:
(f)
$r=\cos (2 \theta);

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em coordenadas polares a curva
r = \cos(2\theta)
Esse é um caso clássico de rosa polar, onde usamos propriedades de curvas do tipo r=\cos(k\theta).

Passo 2

Em rosas polares, se k é inteiro par, o número de pétalas é 2k. Aqui k=2, logo teremos
2k = 4
pétalas, cada uma com comprimento máximo \lvert r\rvert=1.

Passo 3

Devemos achar as direções das pétalas, isto é onde \lvert r\rvert é máximo:
  • \cos(2\theta)=1 \Rightarrow 2\theta=2m\pi \Rightarrow \theta=0,\pi, com r=1. Pétalas em direção \theta=0 (ponto (1,0)) e \theta=\pi (ponto (-1,0)).
  • \cos(2\theta)=-1 \Rightarrow 2\theta=(2m+1)\pi \Rightarrow \theta=\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2, com r=-1. Como r<0, cada direção inverte em +\pi, resultando em pétalas nas direções \theta=\tfrac\pi2 e \theta=\tfrac{3\pi}2, ou seja, nos pontos (0,1) e (0,-1).

Passo 4

Entre essas pétalas, a curva passa pela origem sempre que \cos(2\theta)=0. Isso ocorre em
2\theta = \tfrac\pi2 + m\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \tfrac\pi4,\;\tfrac{3\pi}4,\;\tfrac{5\pi}4,\;\tfrac{7\pi}4.
Esses ângulos dividem o círculo em oito setores, desenhando as “folhas” da rosa.

Resposta

A curva é uma rosa de 4 pétalas de comprimento 1, alinhadas aos eixos x e y.
Esboço: ligue suavemente a origem aos pontos exteriores
(1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1), passando pelos zeros em
\theta=\tfrac\pi4,\tfrac{3\pi}4,\tfrac{5\pi}4,\tfrac{7\pi}4.

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