Esboce os gráficos, em coordenadas cartesianas, das seguintes equações polares:
(e)
$r= \pm 2 \sqrt{\cos (2 \theta)};
(e)
$r= \pm 2 \sqrt{\cos (2 \theta)};
Passo 1
O enunciado pede o esboço, em coordenadas cartesianas, da curva dada em coordenadas polares por
O conteúdo principal é a conversão de uma equação polar em forma retangular e a identificação do domínio de existência (onde
).
Passo 2
Para que
seja real precisamos de
Isso ocorre quando
Cada um desses intervalos gera um “laço” da curva, um centrado em torno do eixo
positivo e outro em torno do eixo
negativo.
Passo 3
Elevando ambos os lados ao quadrado temos
Em coordenadas cartesianas sabemos que
Substituindo,
Passo 4
A equação
é a lemniscata de Bernoulli com parâmetro
. Suas principais características são:
- Dois laços simétricos em torno da origem, voltados ao longo do eixo
. - Cada laço intercepta o eixo
em (quando , obtém-se ). - A curva é simétrica em relação aos eixos
e .
Resposta
A curva é o lemniscato de Bernoulli orientado ao longo do eixo
, cuja equação retangular é
existindo apenas para
tal que
. O esboço consiste em dois laços simétricos em torno da origem, estendendo-se de
a
sobre o eixo
.