Esboce os gráficos, em coordenadas cartesianas, das seguintes equações polares:
(e)
$r= \pm 2 \sqrt{\cos (2 \theta)};

Passo 1

O enunciado pede o esboço, em coordenadas cartesianas, da curva dada em coordenadas polares por
r = \pm 2\,\sqrt{\cos(2\theta)}.
O conteúdo principal é a conversão de uma equação polar em forma retangular e a identificação do domínio de existência (onde \cos(2\theta)\ge0).

Passo 2

Para que r seja real precisamos de
\cos(2\theta)\ge0.
Isso ocorre quando
-\,\frac{\pi}{4}\,\le\theta\le\frac{\pi}{4} \quad\text{ou}\quad \frac{3\pi}{4}\,\le\theta\le\frac{5\pi}{4}.
Cada um desses intervalos gera um “laço” da curva, um centrado em torno do eixo x positivo e outro em torno do eixo x negativo.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado temos
r^2 = 4\,\cos(2\theta).
Em coordenadas cartesianas sabemos que
r^2 = x^2 + y^2, \quad \cos(2\theta) = \frac{x^2 - y^2}{r^2}.
Substituindo,
x^2 + y^2 = 4\,\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \;\;\Longrightarrow\;\; (x^2 + y^2)^2 = 4\,(x^2 - y^2).

Passo 4

A equação
(x^2 + y^2)^2 = 4\,(x^2 - y^2)
é a lemniscata de Bernoulli com parâmetro a^2=2. Suas principais características são:
  1. Dois laços simétricos em torno da origem, voltados ao longo do eixo x.
  2. Cada laço intercepta o eixo x em x=\pm2 (quando y=0, obtém-se x^4=4x^2\Rightarrow x^2=4).
  3. A curva é simétrica em relação aos eixos x e y.

Resposta

A curva é o lemniscato de Bernoulli orientado ao longo do eixo x, cuja equação retangular é
(x^2 + y^2)^2 = 4\,(x^2 - y^2),
existindo apenas para \theta tal que \cos(2\theta)\ge0. O esboço consiste em dois laços simétricos em torno da origem, estendendo-se de -2 a +2 sobre o eixo x.

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