Esboce os gráficos da extensão periódica par g(x) e da extensão periódica ímpar h(x), ambas com período 2 L. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0<x<1, \\\\ 0, & 1<x<2 .\end{array} \quad L=2\right..
Passo 1
O enunciado dá a função definida em 0<x<2\) com \(L=2\):
\[f(x)=\begin{cases} x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2. \end{cases}
Pede-se:
esboçar as extensões periódicas de período 2L=4\]: a extensão par \(g(x) e a extensão ímpar h(x);
encontrar as séries de Fourier em cossenos (para g) e em senos (para h).
Informações relevantes: a função é dada só em (0,2); as extensões se definem em (-2,2) por paridade e depois se repetem com período 4. A série de cossenos usa modos \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)=\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) e a de senos usa \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big).]
Passo 2
Como construir as extensões (descrição do esboço, um período [-2<x<2)):
Extensão par g(x): definir g(x)=f(|x|) para -2<x<2 e estender periodicamente com período 4. Portanto, num período (-2,2) temos, explicitamente,
Esboço: no trecho (0,1)\] é a reta crescente \[y=x de 0 a 1; em (1,2) é zero; em (-1,0) é o espelho simétrico y=-x (positivo) e em (-2,-1) é zero; depois repetir com período 4.
Extensão ímpar h(x): definir h(x)=\operatorname{sgn}(x)\,f(|x|) para -2<x<2 e estender com período 4. Num período (-2,2) fica
Observação útil: para -1<x<1\] temos \(h(x)=x (pois a parte ímpar espelha com sinal trocado, e neste caso coincide com a reta passando pela origem); em (1,2) e (-2,-1) é zero. Esboço: é a reta y=x entre -1 e 1, depois um trecho nulo até 2, e repetir com período 4.]
Passo 3
Formulas para as séries (me explico como se chega a elas):
Para extensão par (série em cossenos, meio-intervalo 0<x< L) a série geral é
Aqui L=2, portanto os modos são \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) e \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big), e o fator \tfrac{2}{L} vale \tfrac{2}{2}=1. Assim:
Descrição do esboço de g(x)\) e série de cossenos:
\(g(x)\) tem, num período \(-2<x<2\),
\[g(x)=\begin{cases} 0, & -2<x<-1,\\[4pt] -x, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2, \end{cases}
repetido com período (4]. A série de cossenos é g(x)=\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{n\pi}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)+\frac{4}{n^2\pi^2}\Big(\cos\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)-1\Big)\right]\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{2}\Big).
Descrição do esboço de h(x)\) e série de senos:
\(h(x)\) tem, num período \(-2<x<2\),
\[h(x)=\begin{cases} 0, & -2<x<-1,\\[4pt] x, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2, \end{cases}
repetido com período (4]. A série de senos é h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{4}{n^2\pi^2}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)-\frac{2}{n\pi}\cos\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)\right]\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{2}\Big).]