Esboce os gráficos da extensão periódica par g(x) e da extensão periódica ímpar h(x), ambas com período 2 L. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0<x<1, \\\\ 0, & 1<x<2 .\end{array} \quad L=2\right..

Passo 1

O enunciado dá a função definida em 0<x<2\) com \(L=2\): \[f(x)=\begin{cases} x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2. \end{cases}
Pede-se:
  1. esboçar as extensões periódicas de período 2L=4\]: a extensão par \(g(x) e a extensão ímpar h(x);
  2. encontrar as séries de Fourier em cossenos (para g) e em senos (para h).
    Informações relevantes: a função é dada só em (0,2); as extensões se definem em (-2,2) por paridade e depois se repetem com período 4. A série de cossenos usa modos \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)=\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) e a de senos usa \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big).]

Passo 2

Como construir as extensões (descrição do esboço, um período [-2<x<2)):
  • Extensão par g(x): definir g(x)=f(|x|) para -2<x<2 e estender periodicamente com período 4. Portanto, num período (-2,2) temos, explicitamente,
g(x)=\begin{cases} 0, & -2<x<-1,\\[4pt] -x, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2. \end{cases}
Esboço: no trecho (0,1)\] é a reta crescente \[y=x de 0 a 1; em (1,2) é zero; em (-1,0) é o espelho simétrico y=-x (positivo) e em (-2,-1) é zero; depois repetir com período 4.
  • Extensão ímpar h(x): definir h(x)=\operatorname{sgn}(x)\,f(|x|) para -2<x<2 e estender com período 4. Num período (-2,2) fica
h(x)=\begin{cases} 0, & -2<x<-1,\\[4pt] x, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2. \end{cases}
Observação útil: para -1<x<1\] temos \(h(x)=x (pois a parte ímpar espelha com sinal trocado, e neste caso coincide com a reta passando pela origem); em (1,2) e (-2,-1) é zero. Esboço: é a reta y=x entre -1 e 1, depois um trecho nulo até 2, e repetir com período 4.]

Passo 3

Formulas para as séries (me explico como se chega a elas):
  • Para extensão par (série em cossenos, meio-intervalo 0<x< L) a série geral é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big),
com
a_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)\,dx\quad(n\ge0),
onde a_0 obedece à mesma fórmula (com n=0).
  • Para extensão ímpar (série em senos) a série é
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big),
com
b_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)\,dx\quad(n\ge1).
Aqui L=2, portanto os modos são \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) e \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big), e o fator \tfrac{2}{L} vale \tfrac{2}{2}=1. Assim:
a_n=\int_0^2 f(x)\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{2}\Big)\,dx,\qquad b_n=\int_0^2 f(x)\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{2}\Big)\,dx.
Como f(x)=x em (0,1) e 0 em (1,2), as integrais reduzem a integrais sobre 0 a 1.

Passo 4

Cálculo de a_0:
a_0=\int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^1 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}.
Portanto o termo constante da série de cossenos é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Cálculo de a_n (coeficiente de cosseno, n\ge1). Defina \alpha_n=\dfrac{n\pi}{2}. Então
a_n=\int_0^1 x\cos(\alpha_n x)\,dx.
Integramos por partes: tome u=x, dv=\cos(\alpha_n x)\,dx. Então du=dx, v=\dfrac{\sin(\alpha_n x)}{\alpha_n}. Assim
a_n=\frac{x\sin(\alpha_n x)}{\alpha_n}\Big|_0^1-\int_0^1\frac{\sin(\alpha_n x)}{\alpha_n}\,dx =\frac{\sin\alpha_n}{\alpha_n}-\frac{1}{\alpha_n}\Big(-\frac{\cos(\alpha_n x)}{\alpha_n}\Big)\Big|_0^1.
Isso dá
a_n=\frac{\sin\alpha_n}{\alpha_n}+\frac{\cos\alpha_n-\cos 0}{\alpha_n^2} =\frac{\sin\alpha_n}{\alpha_n}+\frac{\cos\alpha_n-1}{\alpha_n^2}.
Voltando a \alpha_n=\dfrac{n\pi}{2} e escrevendo em forma conveniente,
a_n=\frac{2}{n\pi}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)+\frac{4}{n^2\pi^2}\Big(\cos\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)-1\Big).

Passo 6

Simplificação por paridade (útil para uso prático na prova):
  • Para n=2k (número par), \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 e \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\cos(k\pi)=(-1)^k. Assim
a_{2k}=\frac{(-1)^k-1}{k^2\pi^2}.
  • Para n=2k+1 (ímpar), \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=(-1)^k e \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0. Assim
a_{2k+1}=\frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi}-\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}.

Passo 7

Cálculo de b_n (coeficiente de seno, n\ge1). Novamente com \alpha_n=\dfrac{n\pi}{2},
b_n=\int_0^1 x\sin(\alpha_n x)\,dx.
Integramos por partes: u=x, dv=\sin(\alpha_n x)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(\alpha_n x)}{\alpha_n}. Obtém-se
b_n=-\frac{x\cos(\alpha_n x)}{\alpha_n}\Big|_0^1+\int_0^1\frac{\cos(\alpha_n x)}{\alpha_n}\,dx =-\frac{\cos\alpha_n}{\alpha_n}+\frac{\sin\alpha_n}{\alpha_n^2}.
Ou seja,
b_n=\frac{\sin\alpha_n}{\alpha_n^2}-\frac{\cos\alpha_n}{\alpha_n} =\frac{4}{n^2\pi^2}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)-\frac{2}{n\pi}\cos\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big).

Passo 8

Simplificação por paridade para b_n:
  • Para n=2k (par): \sin(\alpha_n)=0, \cos(\alpha_n)=(-1)^k. Assim
b_{2k}=-\frac{(-1)^k}{k\pi}=-\frac{(-1)^k}{k\pi}.
(Ex.: b_2=1/\pi.)
  • Para n=2k+1 (ímpar): \cos(\alpha_n)=0, \sin(\alpha_n)=(-1)^k. Assim
b_{2k+1}=\frac{4(-1)^k}{(2k+1)^2\pi^2}.

Passo 9

Escrever as séries finais de forma explícita:
  • Série de cossenos (extensão par g(x), período 4):
g(x)=\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{n\pi}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)+\frac{4}{n^2\pi^2}\Big(\cos\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)-1\Big)\right]\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{2}\Big).
Alternativamente com paridade:
g(x)=\frac{1}{4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k-1}{k^2\pi^2}\cos\!\Big(\frac{2k\pi x}{2}\Big) +\sum_{k=0}^{\infty}\Big(\frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi}-\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\Big)\cos\!\Big(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\Big).
  • Série de senos (extensão ímpar h(x), período 4):
h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{4}{n^2\pi^2}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)-\frac{2}{n\pi}\cos\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)\right]\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{2}\Big).
Em forma separada por paridade:
h(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\Big(-\frac{(-1)^k}{k\pi}\Big)\sin\!\Big(\frac{2k\pi x}{2}\Big) +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4(-1)^k}{(2k+1)^2\pi^2}\sin\!\Big(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\Big).

Resposta

Descrição do esboço de g(x)\) e série de cossenos: \(g(x)\) tem, num período \(-2<x<2\), \[g(x)=\begin{cases} 0, & -2<x<-1,\\[4pt] -x, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2, \end{cases}
repetido com período (4]. A série de cossenos é
g(x)=\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{n\pi}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)+\frac{4}{n^2\pi^2}\Big(\cos\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)-1\Big)\right]\cos\!\Big(\frac{n\pi x}{2}\Big).
Descrição do esboço de h(x)\) e série de senos: \(h(x)\) tem, num período \(-2<x<2\), \[h(x)=\begin{cases} 0, & -2<x<-1,\\[4pt] x, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2, \end{cases}
repetido com período (4]. A série de senos é
h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{4}{n^2\pi^2}\sin\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)-\frac{2}{n\pi}\cos\!\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)\right]\sin\!\Big(\frac{n\pi x}{2}\Big).]

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