Resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em
:
, só três termos
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva a equação diferencial
por uma série de potências em
, e que eu forneça apenas três termos da solução. Informações dadas: a equação é válida em torno de
(série em potência em
) e não foi dada nenhuma condição inicial, então a solução terá uma constante arbitrária (que chamarei de
). A tarefa é obter os coeficientes iniciais da série de
.
Passo 2
Vou usar o método de série de potências: assumo uma expansão de
em potências de
,
onde
são coeficientes a determinar. Esse método consiste em substituir essa série e a série de
na equação, igualar coeficientes de cada potência de
e obter recorrências para os
. (Obs.: separação de variáveis também resolve a equação, mas aqui o pedido é por série de potências.)
Passo 3
Escrevo as séries envolvidas. A série de
é
A derivada de
é
Vou reindexar
para ter potências
com
: colocamos
, então
Passo 4
Agora o produto do lado direito:
O coeficiente de
nesse produto é a soma convolucional
Portanto, igualando coeficiente a coeficiente em
(para todo
) obtemos a recorrência
Passo 5
Agora calculamos os primeiros coeficientes a partir de
arbitrário.
- Para
:
- Para
:
(Se quiser ver mais um para intuir o padrão: para
dá
, logo
.)
Passo 6
Com os coeficientes encontrados, a série de
até termos de ordem
é