Resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x:
y^{\prime}=e^{x^{2}} y, só três termos

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva a equação diferencial
y' = e^{x^{2}}\,y
por uma série de potências em x, e que eu forneça apenas três termos da solução. Informações dadas: a equação é válida em torno de x=0 (série em potência em x) e não foi dada nenhuma condição inicial, então a solução terá uma constante arbitrária (que chamarei de a_0). A tarefa é obter os coeficientes iniciais da série de y(x).

Passo 2

Vou usar o método de série de potências: assumo uma expansão de y em potências de x,
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n},
onde a_0,a_1,\dots são coeficientes a determinar. Esse método consiste em substituir essa série e a série de e^{x^{2}} na equação, igualar coeficientes de cada potência de x e obter recorrências para os a_n. (Obs.: separação de variáveis também resolve a equação, mas aqui o pedido é por série de potências.)

Passo 3

Escrevo as séries envolvidas. A série de e^{x^{2}} é
e^{x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!}.
A derivada de y é
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{\,n-1}.
Vou reindexar y' para ter potências x^{m} com m\ge0: colocamos m=n-1, então
y'(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1} x^{m}.

Passo 4

Agora o produto do lado direito:
e^{x^{2}}y(x)=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}\right).
O coeficiente de x^{m} nesse produto é a soma convolucional
\sum_{k=0}^{\lfloor m/2\rfloor}\frac{a_{m-2k}}{k!}.
Portanto, igualando coeficiente a coeficiente em x^{m} (para todo m\ge0) obtemos a recorrência
(m+1)a_{m+1}=\sum_{k=0}^{\lfloor m/2\rfloor}\frac{a_{m-2k}}{k!}.

Passo 5

Agora calculamos os primeiros coeficientes a partir de a_0 arbitrário.
  • Para m=0:
1\cdot a_{1}=\sum_{k=0}^{0}\frac{a_{0}}{0!}=a_{0}\quad\Rightarrow\quad a_{1}=a_{0}.
  • Para m=1:
2\cdot a_{2}=\sum_{k=0}^{0}\frac{a_{1}}{0!}=a_{1}\quad\Rightarrow\quad a_{2}=\frac{a_{1}}{2}=\frac{a_{0}}{2}.
(Se quiser ver mais um para intuir o padrão: para m=2 3a_3=a_2+\dfrac{a_0}{1!}=\dfrac{a_0}{2}+a_0=\dfrac{3a_0}{2}, logo a_3=\dfrac{a_0}{2}.)

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, a série de y até termos de ordem x^{2} é
y(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots = a_{0}\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}\right)+O(x^{3}).

Resposta

y(x)=a_{0}\left(1+x+\dfrac{x^{2}}{2}\right)+O(x^{3})

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