Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
\quad f(x)=-x,-\pi<x<0 ; \quad\ série de senos, período 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x,\quad -\pi < x < 0,
pede a "série de senos, período 2\pi" correspondente, quer que eu encontre a função para a qual essa série converge e que eu esboce o gráfico em um intervalo de três períodos. Informações relevantes:
  • Função dada em (- \pi,0): f(x)=-x.
  • Devemos produzir uma série de Fourier com apenas termos em seno (série de senos) e período 2\pi.
  • A série deve representar a extensão periódica com período 2\pi apropriada (isto será a função limite da série).
  • Perguntas a responder:
    1. Qual é a série de senos (coeficientes explícitos)?
    2. Para qual função (extensão periódica) essa série converge?
    3. Esboço do gráfico em um intervalo de três períodos.

Passo 2

Entendendo por que usar só senos e como estender a função: a “série de senos” com período 2\pi corresponde exatamente à expansão de Fourier de uma função ímpar definida em (- \pi,\pi) e estendida periodicamente com período 2\pi. Observação prática e muito útil: a expressão f(x)=-x já é uma função ímpar quando definida em (- \pi,\pi), porque
f(-x) = -(-x) = x = -f(x).
Logo, se estendermos f definindo simplesmente f(x)=-x para todo x\in(-\pi,\pi) (e depois periodizando com período 2\pi), obteremos uma função ímpar. Para uma função ímpar, todos os coeficientes a_n (dos cossenos) e a_0 são zero, sobrando apenas os coeficientes b_n (dos senos). Portanto é coerente ter somente senos.

Passo 3

Fórmula dos coeficientes b_n para série de Fourier em (- \pi,\pi):
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f e \sin(nx) são ímpares, o produto é par, então podemos dobrar a integral em (0,\pi):
b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Lembrando que, pela extensão escolhida, para 0<x<\pi temos f(x)=-x. Portanto
b_n = -\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.

Passo 4

Cálculo do integral \int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por partes. Use a regra: \int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolha u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\frac{1}{n}\cos(nx). Assim
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left.-\frac{x}{n}\cos(nx)\right|_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
A integral de \cos(nx) em [0,\pi] é \frac{1}{n}\sin(nx)\Big|_{0}^{\pi}=0 (pois \sin(n\pi)=0). Portanto resta apenas o termo de fronteira:
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi}{n}\cos(n\pi) - 0 = -\frac{\pi}{n}(-1)^n.
Substituindo em b_n:
b_n = -\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi}{n}(-1)^n\right) = \frac{2(-1)^n}{n}.

Passo 5

Montando a série de senos: como a_0=a_n=0 e b_n=\dfrac{2(-1)^n}{n}, a série de Fourier de período 2\pi (com somente senos) é
\boxed{\displaystyle f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n}\sin(nx).}
(Esse símbolo \sim indica “igual à série de Fourier”, ou seja, a série que representa a função por partes.)

Passo 6

Para qual função a série converge? A série de Fourier periódica converge, em cada ponto onde a extensão periódica é contínua, ao valor da própria função estendida; em pontos de descontinuidade converge para a média dos limites laterais. Aqui a extensão periódica g (de período 2\pi) é dada por
\text{para }x\in(2k\pi-\pi,\,2k\pi+\pi):\quad g(x) = -x + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
que é equivalente a dizer que g(x)=-x em (- \pi,\pi) e g é 2\pi-periódica. Essa é a função dente-de-serra (sawtooth) inclinada com declive -1 em cada período. Nos pontos x=(2k+1)\pi há salto (discontinuidade) e a série converge para a média dos limites:
\text{para }x=(2k+1)\pi\quad\text{o valor da série é }0.éé

Passo 7

Esboço do gráfico em três períodos: escolha, por exemplo, o intervalo -3\pi<x<3\pi (três períodos de comprimento 2\pi correspondem total de 6\pi). O gráfico é um segmento de reta de inclinação -1 em cada intervalo (2k\pi-\pi,2k\pi+\pi), com valor \;g(0)=0, passando por (- \pi,\pi) com g(-\pi^+)=\pi e g(\pi^-)= -\pi. Em cada período a função decresce linearmente de \pi até -\pi, e então “salta” de volta para \pi no ponto seguinte, repetindo o padrão (forma típica de sawtooth). Isso é o esboço pedido: retas com declive -1 conectidas por saltos no fim de cada período.

Resposta

\displaystyle f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n}\sin(nx).\n
A série converge para a função 2\pi-periódica g dada por \;g(x)=-x+2k\pi para x\in(2k\pi-\pi,2k\pi+\pi), com g((2k+1)\pi)=0.\n
Gráfico (esboço): função dente-de-serra periódica de período 2\pi, linear com declive -1 em cada intervalo (2k\pi-\pi,2k\pi+\pi), decrescendo de \pi até -\pi e repetindo-se (esboçar isso entre -3\pi e 3\pi).

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