Esboce os gráficos das funções abaixo em um mesmo plano cartesiano:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
num plano cartesiano. As informações que temos diretamente do enunciado são:
- A função é um polinômio quadrático da forma
com , e . - A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico da função.
Passo 2
Entendendo a forma geral e o que cada coeficiente significa (mini-aula rápida):
- Uma função quadrática tem a forma
. - O coeficiente
determina a concavidade: se a parábola “abre para cima” (tem mínimo); se abre para baixo (tem máximo). - Os coeficientes
e influenciam a posição horizontal e vertical da parábola.
Aqui, logo a parábola abre para cima (formato de “U”), isto é, a função tem um valor mínimo.
Passo 3
Encontrar as raízes (onde a parábola cruza o eixo
). Vamos fatorar o polinômio:
Portanto as raízes são
e
. Os pontos no plano são
e
. Esses são pontos fundamentais para o esboço.
Passo 4
Encontrar o intercepto com o eixo
(onde
):
Logo o ponto é
. Esse é útil para posicionar a parábola verticalmente.
Passo 5
Encontrar o vértice (o ponto de mínimo, já que a parábola abre para cima).
Método 1 — fórmula do vértice:
Método 1 — fórmula do vértice:
Agora a ordenada:
Logo o vértice é
.
Método 2 — completar o quadrado (para obter a forma vértice):
Começa com . Completa-se o quadrado:
Começa com
então
Essa forma confirma o vértice em
e mostra claramente que a parábola vale
.
Passo 6
Eixos e simetrias (explicação didática):
- A linha de simetria (eixo da parábola) é a reta vertical que passa pelo vértice:
. - Como
, o vértice é o ponto de mínimo; o menor valor de é . - A parábola é simétrica em relação a
: pontos com mesma distância horizontal a partir de têm a mesma altura.
Passo 7
Calcular alguns pontos adicionais úteis e mostrar simetria (para desenhar com precisão):
- Já temos
e por simetria o ponto à direita de a mesma distância é . Verificar . Então também está na curva — simetria confirmada. - Outro par simétrico:
e .
Então
e
são pontos que ajudam a moldar a parábola.
Resumo de pontos-chave para plotar: vértice , zeros
e
, intercepto y
(e
por simetria), pontos
e
.
Resumo de pontos-chave para plotar: vértice
Passo 8
Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova):
- Desenhe os eixos e marque uma escala uniforme nos eixos
e . - Coloque o vértice em
. - Desenhe a reta de simetria
como referência pontilhada (opcional). - Marque e conecte os zeros
e . - Marque o intercepto com o eixo
em e o ponto simétrico . - Marque mais dois pontos de controle, por exemplo
e , para garantir a curvatura correta. - Desenhe uma curva suave em formato de “U” passando pelo vértice e pelos pontos marcados, garantindo simetria em relação a
. Pronto: esse é o esboço da parábola .
Força aí — com esses pontos o esboço fica certinho e rápido de fazer na prova!
Resposta
Vértice:
Raízes: e
Intercepto em :
Forma vértice:
A parábola abre para cima (eixo de simetria ).
Raízes:
Intercepto em
Forma vértice:
A parábola abre para cima (eixo de simetria