Esboce os gráficos das funções abaixo em um mesmo plano cartesiano:
g(x)=x^{2}-2 x-3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função g(x)=x^{2}-2x-3 num plano cartesiano. As informações que temos diretamente do enunciado são:
  • A função é um polinômio quadrático da forma ax^{2}+bx+c com a=1, b=-2 e c=-3.
  • A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico da função.

Passo 2

Entendendo a forma geral e o que cada coeficiente significa (mini-aula rápida):
  • Uma função quadrática tem a forma ax^{2}+bx+c.
  • O coeficiente a determina a concavidade: se a>0 a parábola “abre para cima” (tem mínimo); se a<0 abre para baixo (tem máximo).
  • Os coeficientes b e c influenciam a posição horizontal e vertical da parábola.
    Aqui a=1>0, logo a parábola abre para cima (formato de “U”), isto é, a função tem um valor mínimo.

Passo 3

Encontrar as raízes (onde a parábola cruza o eixo x). Vamos fatorar o polinômio:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto as raízes são x=3 e x=-1. Os pontos no plano são (-1,0) e (3,0). Esses são pontos fundamentais para o esboço.

Passo 4

Encontrar o intercepto com o eixo y (onde x=0):
g(0)=0^{2}-2\cdot0-3=-3.
Logo o ponto é (0,-3). Esse é útil para posicionar a parábola verticalmente.

Passo 5

Encontrar o vértice (o ponto de mínimo, já que a parábola abre para cima).
Método 1 — fórmula do vértice:
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot1}=1.
Agora a ordenada:
g(1)=1^{2}-2\cdot1-3=1-2-3=-4.
Logo o vértice é (1,-4).
Método 2 — completar o quadrado (para obter a forma vértice):
Começa com g(x)=x^{2}-2x-3. Completa-se o quadrado:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,
então
g(x)=(x-1)^{2}-1-3=(x-1)^{2}-4.
Essa forma confirma o vértice em (1,-4) e mostra claramente que a parábola vale (x-1)^{2}-4.

Passo 6

Eixos e simetrias (explicação didática):
  • A linha de simetria (eixo da parábola) é a reta vertical que passa pelo vértice: x=1.
  • Como a=1>0, o vértice (1,-4) é o ponto de mínimo; o menor valor de g(x) é -4.
  • A parábola é simétrica em relação a x=1: pontos com mesma distância horizontal a partir de x=1 têm a mesma altura.

Passo 7

Calcular alguns pontos adicionais úteis e mostrar simetria (para desenhar com precisão):
  • Já temos (0,-3) e por simetria o ponto à direita de x=1 a mesma distância é x=2. Verificar g(2)=2^{2}-4-3=4-4-3=-3. Então (2,-3) também está na curva — simetria confirmada.
  • Outro par simétrico: x=-2 e x=4.
g(-2)=(-2)^{2}-2(-2)-3=4+4-3=5,
g(4)=4^{2}-2\cdot4-3=16-8-3=5.
Então (-2,5) e (4,5) são pontos que ajudam a moldar a parábola.
Resumo de pontos-chave para plotar: vértice (1,-4), zeros (-1,0) e (3,0), intercepto y (0,-3) (e (2,-3) por simetria), pontos (-2,5) e (4,5).

Passo 8

Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova):
  1. Desenhe os eixos e marque uma escala uniforme nos eixos x e y.
  2. Coloque o vértice em (1,-4).
  3. Desenhe a reta de simetria x=1 como referência pontilhada (opcional).
  4. Marque e conecte os zeros (-1,0) e (3,0).
  5. Marque o intercepto com o eixo y em (0,-3) e o ponto simétrico (2,-3).
  6. Marque mais dois pontos de controle, por exemplo (-2,5) e (4,5), para garantir a curvatura correta.
  7. Desenhe uma curva suave em formato de “U” passando pelo vértice e pelos pontos marcados, garantindo simetria em relação a x=1. Pronto: esse é o esboço da parábola g(x)=x^{2}-2x-3.
Força aí — com esses pontos o esboço fica certinho e rápido de fazer na prova!

Resposta

Vértice: (1,-4)
Raízes: (-1,0) e (3,0)
Intercepto em y: (0,-3)
Forma vértice: g(x)=(x-1)^{2}-4
A parábola abre para cima (eixo de simetria x=1).

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