Esboce os gráficos das funções abaixo y=-\frac{2}{\pi} \cos \left(\frac{\pi}{2} t\right)+\frac{1}{\pi}
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função trigonométrica
y = -\frac{2}{\pi}\,\cos\!\biggl(\frac{\pi}{2}\,t\biggr) \;+\;\frac{1}{\pi}.
O conteúdo é: curvas de cosseno com amplitude, período, inversão e deslocamento vertical. Para resolver, vamos identificar amplitude, período, sentido (inversão) e deslocamento, depois calcular pontos-chave para traçar o gráfico.
Passo 2
Determine amplitude e deslocamento vertical.
A amplitude é o valor absoluto do coeficiente de \cos, ou seja
A = \Bigl|-\frac{2}{\pi}\Bigr| = \frac{2}{\pi}.
O deslocamento vertical é o termo constante
D = \frac{1}{\pi}.
Passo 3
Calcule o período e verifique a inversão.
No argumento \frac{\pi}{2}\,t, o coeficiente angular é B=\frac{\pi}{2}.
O período é
T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{\tfrac{\pi}{2}} = 4.
Como o coeficiente da função é negativo, trata-se de um cosseno invertido (refletido em relação à reta y=D).
Passo 4
Encontre os pontos-chave ao longo de um período 0\le t\le4.
Usando valores de t correspondentes a 0, T/4, T/2, 3T/4 e T:
Esboce o gráfico ligando esses pontos com a forma típica de cosseno invertido:
Eixo t de 0 a 4 (um período completo).
Eixo y com valores mínimo -\tfrac{1}{\pi}, central \tfrac{1}{\pi} e máximo \tfrac{3}{\pi}.
Em t=0 e t=4, y=-\tfrac{1}{\pi}.
Em t=1 e t=3, y=\tfrac{1}{\pi}.
Em t=2, y=\tfrac{3}{\pi}.
Desenhe a curva passando suavemente por esses pontos, iniciando em mínimo, subindo ao ponto médio, alcançando máximo em t=2, e voltando ao mínimo em t=4.
Resposta
O gráfico é um cosseno invertido com
• amplitude \tfrac{2}{\pi},
• período 4,
• deslocamento vertical \tfrac{1}{\pi},
passando pelos pontos \bigl(0,-\tfrac{1}{\pi}\bigr), \bigl(1,\tfrac{1}{\pi}\bigr), \bigl(2,\tfrac{3}{\pi}\bigr), \bigl(3,\tfrac{1}{\pi}\bigr), \bigl(4,-\tfrac{1}{\pi}\bigr).