Esboce os gráficos das funções abaixo
y=-\frac{2}{\pi} \cos \left(\frac{\pi}{2} t\right)+\frac{1}{\pi}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função trigonométrica
y = -\frac{2}{\pi}\,\cos\!\biggl(\frac{\pi}{2}\,t\biggr) \;+\;\frac{1}{\pi}.
O conteúdo é: curvas de cosseno com amplitude, período, inversão e deslocamento vertical. Para resolver, vamos identificar amplitude, período, sentido (inversão) e deslocamento, depois calcular pontos-chave para traçar o gráfico.

Passo 2

Determine amplitude e deslocamento vertical.
A amplitude é o valor absoluto do coeficiente de \cos, ou seja
A = \Bigl|-\frac{2}{\pi}\Bigr| = \frac{2}{\pi}.
O deslocamento vertical é o termo constante
D = \frac{1}{\pi}.

Passo 3

Calcule o período e verifique a inversão.
No argumento \frac{\pi}{2}\,t, o coeficiente angular é B=\frac{\pi}{2}.
O período é
T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{\tfrac{\pi}{2}} = 4.
Como o coeficiente da função é negativo, trata-se de um cosseno invertido (refletido em relação à reta y=D).

Passo 4

Encontre os pontos-chave ao longo de um período 0\le t\le4.
Usando valores de t correspondentes a 0, T/4, T/2, 3T/4 e T:
  • Para t=0:
y(0)=-\frac{2}{\pi}\cos(0)+\frac{1}{\pi}=-\frac{2}{\pi}+\frac{1}{\pi}=-\frac{1}{\pi}.
  • Para t=1 T/4:
y(1)=-\frac{2}{\pi}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\frac{1}{\pi} =-\frac{2}{\pi}\cdot0+\frac{1}{\pi}=\frac{1}{\pi}.
  • Para t=2 T/2:
y(2)=-\frac{2}{\pi}\cos(\pi)+\frac{1}{\pi} =-\frac{2}{\pi}\cdot(-1)+\frac{1}{\pi} =\frac{3}{\pi}.
  • Para t=3 3T/4:
y(3)=-\frac{2}{\pi}\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)+\frac{1}{\pi} =-\frac{2}{\pi}\cdot0+\frac{1}{\pi} =\frac{1}{\pi}.
  • Para t=4 T:
y(4)=-\frac{2}{\pi}\cos(2\pi)+\frac{1}{\pi} =-\frac{2}{\pi}\cdot1+\frac{1}{\pi} =-\frac{1}{\pi}.

Passo 5

Esboce o gráfico ligando esses pontos com a forma típica de cosseno invertido:
  • Eixo t de 0 a 4 (um período completo).
  • Eixo y com valores mínimo -\tfrac{1}{\pi}, central \tfrac{1}{\pi} e máximo \tfrac{3}{\pi}.
  • Em t=0 e t=4, y=-\tfrac{1}{\pi}.
  • Em t=1 e t=3, y=\tfrac{1}{\pi}.
  • Em t=2, y=\tfrac{3}{\pi}.
    Desenhe a curva passando suavemente por esses pontos, iniciando em mínimo, subindo ao ponto médio, alcançando máximo em t=2, e voltando ao mínimo em t=4.

Resposta

O gráfico é um cosseno invertido com
• amplitude \tfrac{2}{\pi},
• período 4,
• deslocamento vertical \tfrac{1}{\pi},
passando pelos pontos \bigl(0,-\tfrac{1}{\pi}\bigr), \bigl(1,\tfrac{1}{\pi}\bigr), \bigl(2,\tfrac{3}{\pi}\bigr), \bigl(3,\tfrac{1}{\pi}\bigr), \bigl(4,-\tfrac{1}{\pi}\bigr).

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