Problema 5. Resolva a equação \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=A \operatorname{sen}(p t), examinando os casos
(a) p \neq \omega
(b) p=\omega

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x = A\sin(p t),
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante senoidal. A solução geral será
x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t),
onde x_{h} é a solução da homogênea e x_{p} é uma particular obtida por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a homogênea associada
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x=0
procuramos x_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t) pois as raízes do polinômio característico r^{2}+\omega^{2}=0 são \pm i\omega.

Passo 3

Caso (a) p\neq\omega. Como o forçamento \sin(p t) não coincide com a solução da homogênea, tentamos
x_{p}(t)=\alpha\sin(p t)+\beta\cos(p t).
Calculando
x_{p}''=-\alpha p^{2}\sin(p t)-\beta p^{2}\cos(p t)
e substituindo em \,x''+\omega^{2}x=A\sin(p t) obtemos
(-\alpha p^{2}+\alpha\omega^{2})\sin(p t)+(-\beta p^{2}+\beta\omega^{2})\cos(p t)=A\sin(p t).
Igualando coeficientes:
\alpha(\omega^{2}-p^{2})=A,\quad \beta(\omega^{2}-p^{2})=0
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\alpha=\frac{A}{\omega^{2}-p^{2}},\quad \beta=0
e
x_{p}(t)=\frac{A}{\omega^{2}-p^{2}}\sin(p t).

Passo 4

Portanto, para p\neq\omega, a solução geral é
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)+\frac{A}{\omega^{2}-p^{2}}\sin(p t).

Passo 5

Caso (b) p=\omega. Agora o forçamento \sin(\omega t) coincide com a homogênea, gerando ressonância. Multiplicamos a tentativa por t:
x_{p}(t)=K\,t\cos(\omega t).
Calculando x_{p}''+ \omega^{2}x_{p} verifica‐se (após derivar por partes) que
x_{p}''+\omega^{2}x_{p}=-2K\omega\sin(\omega t).
Queremos isso igual a A\sin(\omega t), portanto -2K\omega=A e
K=-\frac{A}{2\omega}.
Fica
x_{p}(t)=-\frac{A}{2\omega}\,t\cos(\omega t).

Passo 6

Então, para p=\omega, a solução geral é
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\;-\;\frac{A}{2\omega}\,t\cos(\omega t).

Resposta

(a) Se p\neq\omega,
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)+\frac{A}{\omega^{2}-p^{2}}\sin(p t).
(b) Se p=\omega,
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)-\frac{A}{2\omega}\,t\cos(\omega t).

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