Problema 5. Resolva a equação
, examinando os casos
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante senoidal. A solução geral será
onde
é a solução da homogênea e
é uma particular obtida por coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a homogênea associada
procuramos
pois as raízes do polinômio característico
são
.
Passo 3
Caso (a)
. Como o forçamento
não coincide com a solução da homogênea, tentamos
Calculando
e substituindo em
obtemos
Igualando coeficientes:
logo
e
Passo 4
Portanto, para
, a solução geral é
Passo 5
Caso (b)
. Agora o forçamento
coincide com a homogênea, gerando ressonância. Multiplicamos a tentativa por
:
Calculando
verifica‐se (após derivar por partes) que
Queremos isso igual a
, portanto
e
Fica
Passo 6
Então, para
, a solução geral é
Resposta
(a) Se
,
(b) Se
,