Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função f(x)=|x| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
g(x)=|x-4|

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de g(x)=|x-4| e explicar as transformações que levam o gráfico de f(x)=|x| a esse gráfico.
Informações fornecidas:
  • A função alvo é g(x)=|x-4|.
    Perguntas que vou responder:
  • Quais transformações aplicadas em f(x)=|x| geram g(x)?
  • Qual é o vértice, como são os ramos (equações), interceptos, domínio, imagem e comportamento do gráfico?

Passo 2

Relembrando o gráfico base f(x)=|x|\): - \(f\) tem formato de "V" com vértice em \((0,0)\). - Forma peça a peça: \[f(x)=\begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge 0. \end{cases}
  • O ramo da esquerda tem inclinação -1\] e o da direita tem inclinação \(+1. Exemplos fáceis para desenhar: f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1.]

Passo 3

Regra de transformação horizontal importante (explicação didática):
  • Se h>0, então f(x-h) é o gráfico de f deslocado para a direita em h unidades.
    Por que isso acontece (intuição algébrica): ao definir u=x-h temos f(x-h)=f(u). O valor que antes ocorria em x=u passa agora a ocorrer em x=u+h, ou seja, tudo anda para a direita em h.

Passo 4

Aplicando a regra ao caso:
  • Escrever g como composição de f:
g(x)=|x-4|=f(x-4).
Logo, g é o gráfico de f deslocado para a direita em 4 unidades.

Passo 5

Expressão peça a peça de g\) (para ver explicitamente as retas que formam o "V"): - Separando conforme o sinal de \(x-4\), \[g(x)=\begin{cases} 4-x, & x<4,\\[4pt] x-4, & x\ge 4. \end{cases}
Explicação: se x<4\] então \(x-4<0 e |x-4|=-(x-4)=4-x; se x\ge4 então |x-4|=x-4.]

Passo 6

Identificando pontos chave e como desenhar:
  • Vértice: solução de x-4=0 x=4; assim vértice em (4,0).
  • Intercepto em y (quando x=0): g(0)=|0-4|=4 → ponto (0,4).
  • Intercepto em x: g(x)=0 x=4 → ponto (4,0) (o vértice).
  • Alguns pontos para traçar os ramos: g(2)=|2-4|=2 (2,2); g(6)=|6-4|=2 (6,2).
  • Para desenhar: marque o vértice (4,0), marque (0,4) e (6,2) e una por segmentos retos com inclinações -1 (lado esquerdo) e +1 (lado direito).

Passo 7

Propriedades finais que ajudam na prova e no esboço rápido:
  • Domínio: \mathbb{R} (todos os reais).
  • Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty) pois valor absoluto é não negativo.
  • Continuidade: contínua em todo \mathbb{R}.
  • Diferenciabilidade: não diferenciável em x=4 pois a derivada lateral esquerda é -1 e a lateral direita é +1 (canto no vértice).

Passo 8

Resumo do tipo de transformação (resumido e direto):
  • Transformação aplicada a f(x)=|x|: translação horizontal para a direita em 4 unidades.
  • Não há reflexão nem alongamento/compressão vertical/horizontal nem translação vertical adicional.

Resposta

Translação de f(x)=|x|\) para a direita em \(4\) unidades; vértice em \((4,0)\); equações dos ramos: \[g(x)=\begin{cases} 4-x, & x<4,\\[4pt] x-4, & x\ge 4; \end{cases}
domínio \mathbb{R}\], imagem \([0,\infty).]

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