Seja a função
, para
. Faça o que se pede.
Escreva uma lei para uma função que: estique horizontalmente o gráfico de
por um fator multiplicativo 4 . Dê o domínio e a imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.
Escreva uma lei para uma função que: estique horizontalmente o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
com domínio
. O que se pede:
- Escrever uma lei para a função obtida ao esticar horizontalmente o gráfico de
por um fator multiplicativo 4. - Determinar o domínio dessa nova função.
- Determinar a imagem (intervalo de valores) dessa nova função.
- Esboçar o gráfico da nova função (dar instruções/pontos-chave para o desenho).
Passo 2
O que significa “esticar horizontalmente por um fator 4”? Vou explicar de forma bem direta e intuitiva, sem mistério.
- Suponha que um ponto
esteja no gráfico de , isto é, . - Se quisermos um estiramento horizontal por fator
, esse ponto deve ir para : as coordenadas ficam quatro vezes maiores, a coordenada não muda. - Para obter isso com uma fórmula, definimos a nova função
fazendo com que . Em termos de argumento: . - Portanto, a regra geral: para esticar horizontalmente por um fator
usa-se . Observação importante: o número aparece no denominador dentro da função (isso é contraintuitivo, mas é o jeito que a variável interna se ajusta para que pontos sejam multiplicados por ).
Passo 3
Aplicando a regra com
: a nova função é
Agora substituo
com
:
Essa é a lei explícita da função esticada.
Passo 4
Determinar o domínio de
.
- A definição
só faz sentido no intervalo em que está no domínio original de , que é . - Então exigimos
- Multiplicando a desigualdade por
(que é positivo, portanto a desigualdade mantém o sentido) obtemos
- Logo o domínio da nova função
é .
Passo 5
Determinar a imagem (intervalo de valores) de
.
- A função
é uma parábola voltada para baixo (coeficiente do negativo). O valor máximo ocorre no vértice . - Calculo do máximo:
- Nos extremos do domínio
:
- Como a parábola é contínua e aberta para baixo, os valores variam desde o mínimo
até o máximo . Assim a imagem é
- Observação intuitiva: o esticamento horizontal não alterou os valores de
possíveis para esse intervalo de ; apenas espalhou os mesmos valores por um intervalo maior de .
Passo 6
Mapeamento de alguns pontos úteis (isso ajuda no esboço):
- Ponto original
permanece porque multiplicado por é . - O ponto original
fica em porque vai para . - O ponto original
fica em . - Outros pontos: se
não estiverem no domínio original não contam; melhor usar pontos fáceis:
Esses pontos mostram como a parábola ficou “mais larga”.
Passo 7
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova — sem régua complicada):
- Desenhe um sistema de eixos
e . - Marque o vértice na origem
. - Marque os pontos
e — são os pontos correspondentes aos extremos do domínio. - Marque pontos intermediários como
, , . - Una esses pontos por uma curva suave em forma de parábola voltada para baixo, simétrica em relação ao eixo
.
Dica: compare comno intervalo : o gráfico de é exatamente igual em mas “esticado” horizontalmente por 4 vezes (tudo em deslocado para fora).
Resposta
Domínio:
Imagem: