Seja a função f(x)=-x^{2}, para -1 \leq x \leq 1. Faça o que se pede.
Escreva uma lei para uma função que: estique horizontalmente o gráfico de f por um fator multiplicativo 4 . Dê o domínio e a imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(x) = -x^{2},
com domínio -1 \leq x \leq 1. O que se pede:
  • Escrever uma lei para a função obtida ao esticar horizontalmente o gráfico de f por um fator multiplicativo 4.
  • Determinar o domínio dessa nova função.
  • Determinar a imagem (intervalo de valores) dessa nova função.
  • Esboçar o gráfico da nova função (dar instruções/pontos-chave para o desenho).

Passo 2

O que significa “esticar horizontalmente por um fator 4”? Vou explicar de forma bem direta e intuitiva, sem mistério.
  • Suponha que um ponto (a,b) esteja no gráfico de f, isto é, f(a)=b.
  • Se quisermos um estiramento horizontal por fator 4, esse ponto deve ir para (4a,b): as coordenadas x ficam quatro vezes maiores, a coordenada y não muda.
  • Para obter isso com uma fórmula, definimos a nova função g fazendo com que g(4a)=f(a). Em termos de argumento: g(x)=f(x/4).
  • Portanto, a regra geral: para esticar horizontalmente por um fator k usa-se g(x)=f(x/k). Observação importante: o número k aparece no denominador dentro da função (isso é contraintuitivo, mas é o jeito que a variável interna se ajusta para que pontos x sejam multiplicados por k).

Passo 3

Aplicando a regra com k=4: a nova função é
g(x)=f\!\left(\frac{x}{4}\right).
Agora substituo f(t)=-t^{2} com t=\dfrac{x}{4}:
g(x) = -\left(\frac{x}{4}\right)^{2} = -\frac{x^{2}}{16}.
Essa é a lei explícita da função esticada.

Passo 4

Determinar o domínio de g.
  • A definição g(x)=f(x/4) só faz sentido no intervalo em que x/4 está no domínio original de f, que é [-1,1].
  • Então exigimos
\frac{x}{4} \in [-1,1].
  • Multiplicando a desigualdade por 4 (que é positivo, portanto a desigualdade mantém o sentido) obtemos
x \in [-4,4].
  • Logo o domínio da nova função g é [-4,4].

Passo 5

Determinar a imagem (intervalo de valores) de g.
  • A função g(x) = -\dfrac{x^{2}}{16} é uma parábola voltada para baixo (coeficiente do x^{2} negativo). O valor máximo ocorre no vértice x=0.
  • Calculo do máximo:
g(0) = -\frac{0^{2}}{16} = 0.
  • Nos extremos do domínio x=\pm 4:
g(\pm 4) = -\frac{(\pm 4)^{2}}{16} = -\frac{16}{16} = -1.
  • Como a parábola é contínua e aberta para baixo, os valores variam desde o mínimo -1 até o máximo 0. Assim a imagem é
[-1,\,0].
  • Observação intuitiva: o esticamento horizontal não alterou os valores de y possíveis para esse intervalo de x; apenas espalhou os mesmos valores por um intervalo maior de x.

Passo 6

Mapeamento de alguns pontos úteis (isso ajuda no esboço):
  • Ponto original (0,0) permanece (0,0) porque 0 multiplicado por 4 é 0.
  • O ponto original (1,-1) fica em (4,-1) porque 1 vai para 4.
  • O ponto original (-1,-1) fica em (-4,-1).
  • Outros pontos: se f(2/?) não estiverem no domínio original não contam; melhor usar pontos fáceis: g(2) = -\frac{2^{2}}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}, \qquad g(1) = -\frac{1}{16}.
Esses pontos mostram como a parábola ficou “mais larga”.

Passo 7

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova — sem régua complicada):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y.
  2. Marque o vértice na origem (0,0).
  3. Marque os pontos (4,-1) e (-4,-1) — são os pontos correspondentes aos extremos do domínio.
  4. Marque pontos intermediários como (2,-\tfrac{1}{4}), (-2,-\tfrac{1}{4}), (1,-\tfrac{1}{16}).
  5. Una esses pontos por uma curva suave em forma de parábola voltada para baixo, simétrica em relação ao eixo y.
    Dica: compare com f(x)=-x^{2} no intervalo [-1,1]: o gráfico de g é exatamente igual em y mas “esticado” horizontalmente por 4 vezes (tudo em x deslocado para fora).

Resposta

g(x) = -\dfrac{x^{2}}{16}
Domínio: [-4,4]
Imagem: [-1,0]

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