Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
\quad F(x)=\sqrt{x-3}-2

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\sqrt{x-3}-2.
O que pede:
  • Esboçar o gráfico de F.
  • Identificar a função “elementar” de partida.
  • Identificar quais transformações (translações, reflexões, modulações) foram aplicadas.
  • Determinar o domínio e a imagem (range) de F.
Informações imediatas dadas:
  • A expressão dentro da raiz é x-3.
  • Há uma subtração externa -2 aplicada ao resultado da raiz.

Passo 2

Qual é a função elementar de partida? A função mais simples que aparece aqui é
f(x)=\sqrt{x},
a raiz quadrada principal. Vamos lembrar as propriedades básicas de f:
  • Domínio: [0,\infty) porque a raiz quadrada precisa de argumento não negativo.
  • Imagem: [0,\infty) porque \sqrt{x}\ge 0 para todo x no domínio.
  • Forma do gráfico: começa em (0,0), cresce para a direita de forma decrescente em inclinação (é crescente, mas a taxa de crescimento diminui). Próxima da origem a inclinação é muito grande; para x grande cresce devagar.
É bom decorar alguns pontos de referência de f(x)=\sqrt{x}: (0,0), (1,1), (4,2), (9,3). Esses ajudam a traçar o esboço.

Passo 3

Agora analisamos a transformação horizontal: passar de f(x)=\sqrt{x} para g(x)=\sqrt{x-3}.
Regra geral: substituir x por x-h corresponde a deslocar o gráfico para a direita em h unidades (se h>0). Portanto \sqrt{x-3} é o gráfico de \sqrt{x} deslocado 3 unidades para a direita.
Efeito no domínio: para \sqrt{x-3} precisamos de x-3\ge 0, ou seja
x\ge 3.
Então o domínio de g(x)=\sqrt{x-3} é [3,\infty).
Efeito nos pontos de referência: cada ponto (a,b) de f vira (a+3,b) em g.
  • (0,0)\mapsto(3,0).
  • (1,1)\mapsto(4,1).
  • (4,2)\mapsto(7,2).

Passo 4

Agora a transformação vertical: F(x)=\sqrt{x-3}-2 é g(x) deslocada para baixo em 2 unidades (subtrair 2 corresponde a deslocar para baixo).
Regra geral: g(x)-k desloca o gráfico de g verticalmente para baixo em k quando k>0.
Efeito nos pontos de referência: subtrai-se 2 da ordem das y.
  • (3,0)\mapsto(3,-2).
  • (4,1)\mapsto(4,-1).
  • (7,2)\mapsto(7,0).

Passo 5

Conclusão sobre as transformações (resumindo):
  • Função elementar: y=\sqrt{x}.
  • Transformações aplicadas para obter F:
    1. Translação horizontal para a direita em 3 unidades (substituir x por x-3).
    2. Translação vertical para baixo em 2 unidades (subtrair 2).
  • Não há reflexões (nenhum sinal negativo multiplicando a raiz) e não há alongamentos/contrações (nenhum fator multiplicando a raiz).
Em notação de composição: se f(x)=\sqrt{x}, então
F(x)=f(x-3)-2.

Passo 6

Determinar o domínio de F: a condição vem do radicando:
x-3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 3.
Portanto o domínio é
[3,\infty).
Determinar a imagem (range) de F: como \sqrt{x-3} produz valores \ge 0, subtraindo 2 obtemos valores \ge -2. Assim a imagem é
[-2,\infty).

Passo 7

Pontos importantes e interceptos (úteis para o esboço):
  • Ponto de início (onde o gráfico começa): (3,-2).
  • Ponto onde corta o eixo x (resolver F(x)=0): \sqrt{x-3}-2=0 \Rightarrow \sqrt{x-3}=2 \Rightarrow x-3=4 \Rightarrow x=7.Então intercepto em x é (7,0).
  • Não existe intercepto com o eixo y porque x=0 não está no domínio.
  • Comportamento: para x pouco maior que 3, a derivada \dfrac{d}{dx}\sqrt{x-3}=\dfrac{1}{2\sqrt{x-3}} é muito grande (tende a +\infty quando x\to3^+), então o gráfico sobe rapidamente no começo e depois aumenta mais devagar para x grandes.
Como esboçar passo a passo na prova:
  1. Desenhe o gráfico padrão de y=\sqrt{x} (rastilho à direita a partir de (0,0)).
  2. Desloque tudo 3 unidades à direita: novo começo em (3,0).
  3. Desloque tudo 2 unidades para baixo: novo começo em (3,-2).
  4. Marque pontos (4,-1) e (7,0) para guiar a curva.
  5. Trace a curva suave, crescente, que parte em (3,-2) e sobe indefinidamente para a direita.

Resposta

Função elementar: y=\sqrt{x}.
Transformações: translação horizontal para a direita em 3 unidades; translação vertical para baixo em 2 unidades.
Domínio: [3,\infty).
Imagem: [-2,\infty).

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