Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá a função
O que pede:
- Esboçar o gráfico de
. - Identificar a função “elementar” de partida.
- Identificar quais transformações (translações, reflexões, modulações) foram aplicadas.
- Determinar o domínio e a imagem (range) de
.
Informações imediatas dadas:
- A expressão dentro da raiz é
. - Há uma subtração externa
aplicada ao resultado da raiz.
Passo 2
Qual é a função elementar de partida? A função mais simples que aparece aqui é
a raiz quadrada principal. Vamos lembrar as propriedades básicas de
:
- Domínio:
porque a raiz quadrada precisa de argumento não negativo. - Imagem:
porque para todo no domínio. - Forma do gráfico: começa em
, cresce para a direita de forma decrescente em inclinação (é crescente, mas a taxa de crescimento diminui). Próxima da origem a inclinação é muito grande; para grande cresce devagar.
É bom decorar alguns pontos de referência de
:
,
,
,
. Esses ajudam a traçar o esboço.
Passo 3
Agora analisamos a transformação horizontal: passar de
para
.
Regra geral: substituir
por
corresponde a deslocar o gráfico para a direita em
unidades (se
). Portanto
é o gráfico de
deslocado 3 unidades para a direita.
Efeito no domínio: para
precisamos de
, ou seja
Então o domínio de
é
.
Efeito nos pontos de referência: cada ponto
de
vira
em
.
-
. -
. -
.
Passo 4
Agora a transformação vertical:
é
deslocada para baixo em 2 unidades (subtrair 2 corresponde a deslocar para baixo).
Regra geral:
desloca o gráfico de
verticalmente para baixo em
quando
.
Efeito nos pontos de referência: subtrai-se 2 da ordem das
.
-
. -
. -
.
Passo 5
Conclusão sobre as transformações (resumindo):
- Função elementar:
. - Transformações aplicadas para obter
: - Translação horizontal para a direita em
unidades (substituir por ). - Translação vertical para baixo em
unidades (subtrair ).
- Translação horizontal para a direita em
- Não há reflexões (nenhum sinal negativo multiplicando a raiz) e não há alongamentos/contrações (nenhum fator multiplicando a raiz).
Em notação de composição: se
, então
Passo 6
Determinar o domínio de
: a condição vem do radicando:
Portanto o domínio é
Determinar a imagem (range) de
: como
produz valores
, subtraindo 2 obtemos valores
. Assim a imagem é
Passo 7
Pontos importantes e interceptos (úteis para o esboço):
- Ponto de início (onde o gráfico começa):
. - Ponto onde corta o eixo
(resolver ): Então intercepto em é . - Não existe intercepto com o eixo
porque não está no domínio. - Comportamento: para
pouco maior que , a derivada é muito grande (tende a quando ), então o gráfico sobe rapidamente no começo e depois aumenta mais devagar para grandes.
Como esboçar passo a passo na prova:
- Desenhe o gráfico padrão de
(rastilho à direita a partir de ). - Desloque tudo 3 unidades à direita: novo começo em
. - Desloque tudo 2 unidades para baixo: novo começo em
. - Marque pontos
e para guiar a curva. - Trace a curva suave, crescente, que parte em
e sobe indefinidamente para a direita.
Resposta
Função elementar:
.
Transformações: translação horizontal para a direita em unidades; translação vertical para baixo em
unidades.
Domínio: .
Imagem: .
Transformações: translação horizontal para a direita em
Domínio:
Imagem: