Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função f(x)=|x| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
v(x)=||x-4|-3|

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função v(x)=\bigl|\;|x-4|-3\;\bigr| e explicar as transformações que levam do gráfico de f(x)=|x| até v(x).
Informações dadas:
  • Função base: f(x)=|x|.
  • Função alvo: v(x)=\bigl|\;|x-4|-3\;\bigr|.
  • Deve-se explicar as transformações (translações horizontais/verticais, reflexões, modulações).

Passo 2

Relembrando a forma básica de f(x)=|x|\) (a “V”): - Definição: \(|t| = \begin{cases} -t, & t<0,\\\ t, & t\ge 0. \end{cases}
  • Gráfico de f(x)=|x|: vértice em (0,0), ramos lineares com inclinações -1 para x<0 e +1 para x>0.
  • Isso significa que toda transformação que for aplicada a x desloca horizontalmente a V; transformação em valor desloca/reflete verticalmente.

Passo 3

Primeira transformação: substituir x por x-4.
  • Defina g_1(x)=|x-4|.
  • Interpretação: deslocamento horizontal para a direita de 4 unidades do vértice de f.
  • Novo vértice: (4,0).
  • Forma piecewise (útil para cálculos):
|x-4|=\begin{cases} 4-x, & x\le 4,\\[4pt] x-4, & x\ge 4. \end{cases}]

Passo 4

Segunda transformação: subtrair 3 do valor.
  • Defina g_2(x)=|x-4|-3.
  • Interpretação: transportar verticalmente para baixo 3 unidades o gráfico de g_1.
  • Novo vértice: (4,-3).
  • Expressão piecewise:
g_2(x)=|x-4|-3=\begin{cases} (4-x)-3=1-x, & x\le 4,\\[4pt] (x-4)-3=x-7, & x\ge 4. \end{cases}]

Passo 5

Terceira transformação: aplicar valor absoluto externo, v(x)=|g_2(x)|.
  • Interpretação geométrica: qualquer parte do gráfico de g_2 que esteja abaixo do eixo x (valores negativos) é refletida para cima (dobrada sobre o eixo x), porque y\mapsto|y| transforma y<0 em -y>0 e deixa y\ge0 inalterado.
  • Primeiro achamos onde g_2(x)=0, porque são os pontos onde ocorre a transição entre “mantém” e “reflete”:
|x-4|-3=0 \quad\Longrightarrow\quad |x-4|=3 \quad\Longrightarrow\quad x-4=\pm 3,
logo x=1 ou x=7.
  • Conclusão: em x\le 1 e x\ge 7 temos g_2(x)\ge0 (não se reflete); em 1\le x\le 7 temos g_2(x)\le0 (essa faixa é refletida).

Passo 6

Calcular explicitamente v(x) em cada faixa e simplificar para obter segmentos lineares que permitem esboçar o gráfico:
  • Para x\le 1: aqui x\le 1\le 4, então g_2(x)=1-x\ge0 e
v(x)=|g_2(x)|=1-x.
  • Para 1\le x\le 4: aqui x\le 4 então g_2(x)=1-x\le0 e
v(x)=|g_2(x)|=-(1-x)=x-1.
  • Para 4\le x\le 7: aqui x\ge 4 então g_2(x)=x-7\le0 e
v(x)=|g_2(x)|=-(x-7)=7-x.
  • Para x\ge 7: aqui x\ge 7\ge 4, então g_2(x)=x-7\ge0 e
v(x)=|g_2(x)|=x-7.
Juntando em um bloco:
v(x)=\bigl||x-4|-3\bigr|=\begin{cases} 1-x, & x\le 1,\\[4pt] x-1, & 1\le x\le 4,\\[4pt] 7-x, & 4\le x\le 7,\\[4pt] x-7, & x\ge 7. \end{cases}]

Passo 7

Interpretação geométrica final e esboço verbal:
  • O gráfico tem forma de “W” simétrica em relação a x=4 apenas na parte central (não é par), com vértices importantes:
    • Zeros (mínimos) em (1,0) e (7,0).
    • Pico central em (4,3) (valor máximo local dentro do intervalo central).
  • Ramos externos (para x\le 1 e x\ge 7) são retas com inclinação -1 à esquerda e +1 à direita, correspondendo aos ramos da V original deslocados.
  • Ramos internos (entre 1 e 4 e entre 4 e 7) têm inclinações +1 e -1, formando a “crista” central que atinge 3 em x=4.
  • Domínio: \mathbb{R}. Intervalo (imagem): [0,\infty).
  • Continuidade: v é contínua e piecewise linear com quebras angulares em x=1,4,7.

Resposta

Transformações: começar com [f(x)=|x|), deslocar horizontalmente para a direita 4 unidades (obtem-se |x-4|), deslocar verticalmente para baixo 3 unidades (obtem-se |x-4|-3) e finalmente aplicar reflexão das partes negativas sobre o eixo x tomando o valor absoluto externo (obtem-se \bigl||x-4|-3\bigr|), o que transforma o “vale” em uma crista e produz um gráfico em forma de “W”.
Função em forma piecewise para esboço:
v(x)=\bigl||x-4|-3\bigr|=\begin{cases} 1-x, & x\le 1,\\[4pt] x-1, & 1\le x\le 4,\\[4pt] 7-x, & 4\le x\le 7,\\[4pt] x-7, & x\ge 7. \end{cases}
Pontos-chave para o esboço: zeros em (1,0)\] e \((7,0); pico central em (4,3); domínio \mathbb{R}; imagem [0,\infty).]

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