Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função f(x)=|x| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item. v(x)=||x-4|-3|
Passo 1
O que o enunciado pede: esboçar o gráfico da função v(x)=\bigl|\;|x-4|-3\;\bigr| e explicar as transformações que levam do gráfico de f(x)=|x| até v(x).
Informações dadas:
Função base: f(x)=|x|.
Função alvo: v(x)=\bigl|\;|x-4|-3\;\bigr|.
Deve-se explicar as transformações (translações horizontais/verticais, reflexões, modulações).
Passo 2
Relembrando a forma básica de f(x)=|x|\) (a “V”):
- Definição: \(|t| = \begin{cases} -t, & t<0,\\\ t, & t\ge 0. \end{cases}
Gráfico de f(x)=|x|: vértice em (0,0), ramos lineares com inclinações -1 para x<0 e +1 para x>0.
Isso significa que toda transformação que for aplicada a x desloca horizontalmente a V; transformação em valor desloca/reflete verticalmente.
Passo 3
Primeira transformação: substituir x por x-4.
Defina g_1(x)=|x-4|.
Interpretação: deslocamento horizontal para a direita de 4 unidades do vértice de f.
Terceira transformação: aplicar valor absoluto externo, v(x)=|g_2(x)|.
Interpretação geométrica: qualquer parte do gráfico de g_2 que esteja abaixo do eixo x (valores negativos) é refletida para cima (dobrada sobre o eixo x), porque y\mapsto|y| transforma y<0 em -y>0 e deixa y\ge0 inalterado.
Primeiro achamos onde g_2(x)=0, porque são os pontos onde ocorre a transição entre “mantém” e “reflete”:
Continuidade: v é contínua e piecewise linear com quebras angulares em x=1,4,7.
Resposta
Transformações: começar com [f(x)=|x|), deslocar horizontalmente para a direita 4 unidades (obtem-se |x-4|), deslocar verticalmente para baixo 3 unidades (obtem-se |x-4|-3) e finalmente aplicar reflexão das partes negativas sobre o eixo x tomando o valor absoluto externo (obtem-se \bigl||x-4|-3\bigr|), o que transforma o “vale” em uma crista e produz um gráfico em forma de “W”.