Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. G(x)=1-\sqrt{x+4}
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função G(x)=1-\sqrt{x+4}:
Esboçar o gráfico de G.
Identificar a função “elementar” da qual obtemos G por transformações (translações, reflexões, modulações).
Determinar o domínio e a imagem (conjunto-valor) de G.
Informações dadas:
A expressão algébrica é G(x)=1-\sqrt{x+4}.
Não há figuras adicionais fornecidas.
Passo 2
Qual é a função elementar que aparece aqui e por quê?
A operação principal é a raiz quadrada; portanto a função elementar natural a considerar é \;f(x)=\sqrt{x}\;.
Explicação rápida de transformações básicas (aula mini):
Translação horizontal por h unidades: substituir x por x-h dá f(x-h). Note que f(x+4) corresponde a uma translação para a esquerda de 4 unidades (porque substitui x por x+4).
Translação vertical por k unidades: somar k à função, f(x)+k, desloca o gráfico para cima (se k>0) ou para baixo (se k<0).
Reflexão no eixo x: multiplicar por -1, isto é -f(x), inverte os valores verticais.
Essas operações podem ser compostas: ex., primeiro transladar, depois refletir, depois transladar verticalmente, etc.
Passo 3
Determinar o domínio (condição da raiz):
A raiz quadrada exige que o argumento seja não-negativo:x+4 \ge 0.
Resolve-se:x \ge -4.
Portanto o domínio é \;[-4,\infty)\;.
Comentário didático: em provas, sempre verifique primeiro restrições dentro de radicais pares e denominadores; aqui só aparece \sqrt{x+4}, então a restrição é x+4\ge0.
Passo 4
Identificar a sequência de transformações que leva f(x)=\sqrt{x} a G(x)=1-\sqrt{x+4}:
Começamos com f(x)=\sqrt{x}.
Substituir x por x+4 dá \sqrt{x+4}: isto desloca o gráfico de \sqrt{x} para a esquerda 4 unidades.
Multiplicar por -1 dá -\sqrt{x+4}: isto é uma reflexão do gráfico resultante em torno do eixo x (valores positivos viram negativos).
Somar 1 dá 1-\sqrt{x+4}: isto desloca o gráfico resultante para cima 1 unidade.
Resumo das transformações em ordem (uma forma natural de pensar):
Pontos-chave e comportamento do gráfico (para esboçar com segurança):
Ponto inicial (extremo da raiz): quando o argumento da raiz é zero, isto é x+4=0\Rightarrow x=-4.G(-4)=1-\sqrt{0}=1.Então o gráfico começa em (-4,\,1). Como x=-4 pertence ao domínio, este ponto é incluído (ponto sólido).
Interseção com o eixo x (resolver G(x)=0):1-\sqrt{x+4}=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x+4}=1 \quad\Rightarrow\quad x+4=1 \quad\Rightarrow\quad x=-3.Ponto: (-3,\,0).
Interseção com o eixo y (avaliar em x=0):G(0)=1-\sqrt{0+4}=1-2=-1.Ponto: (0,\,-1).
Comportamento para x\to\infty:\sqrt{x+4}\to\infty \quad\Rightarrow\quad G(x)=1-\sqrt{x+4}\to -\infty.Logo a curva decresce indefinidamente para baixo quando x cresce.
Monotonicidade e concavidade (ajuda a desenhar a forma):
Derivada:G'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x+4}} \quad\text{para } x>-4.Isso mostra G'(x)<0 em todo domínio interior, então G é estritamente decrescente.
Segunda derivada:G''(x) = \frac{1}{4}(x+4)^{-3/2} >0 \quad\text{para } x>-4,então G é côncava para cima (curva “abrindo para cima”).
Observação prática: a inclinação é negativa e tende a 0 quando x\to\infty, então o gráfico desce ficando cada vez mais “horizontal” (declive próximo de zero negativo) enquanto se afasta para -\infty em altura.
Alguns pontos adicionais para esboço rápido: (-4,1), (-3,0), (0,-1), por exemplo (5,-2) já que G(5)=1-\sqrt{9}=1-3=-2.
Passo 6
Como esboçar passo a passo na folha (procedimento prático de prova):
Marcar o ponto inicial (-4,1) com ponto sólido (início do ramo).
Marcar os pontos (-3,0) e (0,-1).
Ligar os pontos por uma curva suave que:
é decrescente para a direita,
é côncava para cima,
passa pelos pontos marcados e não existe para x<-4.
Para x muito grande a função tende a -\infty; mostrar a curva descendo sem limite.
Identificar no desenho que o valor máximo (ponto mais alto) é 1 em x=-4.
Passo 7
Resumo final das informações essenciais (para conferir rapidamente na prova):
Função elementar reconhecida: \;f(x)=\sqrt{x}\;.
Transformações aplicadas (do elementar para G):
translação horizontal para a esquerda de 4 unidades (x\mapsto x+4);
reflexão em torno do eixo x (multiplicação por -1);
translação vertical para cima de 1 unidade (adição de 1).
Função elementar: \sqrt{x}
Transformações (na ordem conveniente): translação horizontal para a esquerda de 4 unidades (x\mapsto x+4), reflexão em torno do eixo x (multiplicação por -1), translação vertical para cima de 1 unidade.
Domínio: [ -4,\infty )
Imagem: ( -\infty ,\,1 ]