Esboce os gráficos das funções quadráticas f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas abaixo:
f(x)=-2 x^{2}+4 x-2

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática dada. As informações fornecidas são:
  • A função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=-2x^{2}+4x-2.
  • A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico dessa função em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Identificar os coeficientes da parábola: escrevo a função no formato padrão f(x)=ax^{2}+bx+c e extraio a, b e c.
  • Aqui a=-2, b=4 e c=-2.
    Explicação do que esses coeficientes significam, de forma simples:
  • a controla a “abertura” e o sentido (se abre para cima ou para baixo). Se a>0 abre para cima; se a<0 abre para baixo.
  • b e c afetam a posição do vértice e o deslocamento vertical.
    Como a=-2<0, a parábola abre para baixo: o vértice será um ponto de máximo.

Passo 3

Vou achar o vértice da parábola: a abscissa do vértice (coordenada x do vértice) é dada pela fórmula
x_{v}=-\dfrac{b}{2a}.
Aqui substituo os valores de b e a:
x_{v}=-\dfrac{4}{2\cdot(-2)}=-\dfrac{4}{-4}=1.
Explicando a fórmula: x_v é o ponto onde a parábola atinge máximo ou mínimo; ela vem de derivar a função quadrática ou completar o quadrado.

Passo 4

Calcular a ordenada do vértice y_v=f(x_v). Substituo x_v=1 na função:
f(1)=-2\cdot1^{2}+4\cdot1-2=-2+4-2=0.
Portanto o vértice é o ponto (1,0). Observação importante: o vértice está exatamente sobre o eixo x.

Passo 5

Completar o quadrado para ver a forma do gráfico de maneira mais clara. Reescrevo f(x) em forma de vértice:
f(x)=-2x^{2}+4x-2=-2\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=-2(x-1)^{2}.
Interpretação didática:
  • A forma -2(x-1)^{2} diz que a parábola é a função quadrática padrão -(x-1)^{2} escalada por fator 2. O termo (x-1) desloca o vértice para x=1. O sinal negativo confirma que é um máximo e o coeficiente 2 indica que ela é “mais fechada” que y=-(x-1)^{2}.

Passo 6

Determinar as raízes (interseções com o eixo x). Uso o discriminante \Delta=b^{2}-4ac:
\Delta=4^{2}-4\cdot(-2)\cdot(-2)=16-16=0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla; a parábola toca o eixo x em um único ponto, que é o vértice. Podemos confirmar a raiz:
  • Resolvendo f(x)=0 em forma completada: -2(x-1)^{2}=0\Rightarrow (x-1)^{2}=0\Rightarrow x=1.
    Logo a interseção com o eixo x é (1,0) (raiz dupla).

Passo 7

Interseção com o eixo y (quando x=0): calculo f(0):
f(0)=-2.
Então o ponto de interseção com o eixo y é (0,-2).

Passo 8

Usar simetria para obter outro ponto útil: a parábola é simétrica em relação à reta x=x_v. Como x_v=1 e (0,-2) é um ponto, o ponto simétrico em relação a x=1 tem abscissa 2. Calculo f(2):
f(2)=-2\cdot2^{2}+4\cdot2-2=-8+8-2=-2.
Logo (2,-2) é simétrico de (0,-2). Isso ajuda a desenhar a curva corretamente.

Passo 9

Determinar domínio e imagem (range):
  • Domínio: todas as funções quadráticas têm domínio \mathbb{R}.
  • Imagem: como a parábola abre para baixo e o vértice tem y_v=0 (máximo), a imagem é
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,0].

Passo 10

Como esboçar na prática (passo a passo para fazer no papel):
  1. Marcar o vértice (1,0).
  2. Desenhar a reta de simetria x=1 como guia (opcional, tracejada).
  3. Marcar pontos (0,-2) e (2,-2) — simétricos — e, se quiser, outros pontos próximos usando f(1\pm 0{,}5)=-2(0{,}5)^{2}=-0{,}5 para ver a curvatura.
  4. Unir os pontos com uma curva suave em forma de “arco” invertido (máximo em (1,0) e caindo para -\infty quando x\to\pm\infty).
  5. Indicar que a parábola toca o eixo x apenas em (1,0) (raiz dupla).

Resposta

Equação na forma vértice: f(x)=-2(x-1)^{2}
Vértice: (1,0)
Eixo de simetria: x=1
Interseção com o eixo x: (1,0) (raiz dupla)
Interseção com o eixo y: (0,-2)
Pontos simétricos: (0,-2) e (2,-2)
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,0]

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