Esboce os gráficos das funções quadráticas
definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática dada. As informações fornecidas são:
- A função é
definida por . - A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico dessa função em
.
Passo 2
Identificar os coeficientes da parábola: escrevo a função no formato padrão
e extraio
,
e
.
- Aqui
, e .
Explicação do que esses coeficientes significam, de forma simples: -
controla a “abertura” e o sentido (se abre para cima ou para baixo). Se abre para cima; se abre para baixo. -
e afetam a posição do vértice e o deslocamento vertical.
Como, a parábola abre para baixo: o vértice será um ponto de máximo.
Passo 3
Vou achar o vértice da parábola: a abscissa do vértice (coordenada
do vértice) é dada pela fórmula
Aqui substituo os valores de
e
:
Explicando a fórmula:
é o ponto onde a parábola atinge máximo ou mínimo; ela vem de derivar a função quadrática ou completar o quadrado.
Passo 4
Calcular a ordenada do vértice
. Substituo
na função:
Portanto o vértice é o ponto
. Observação importante: o vértice está exatamente sobre o eixo
.
Passo 5
Completar o quadrado para ver a forma do gráfico de maneira mais clara. Reescrevo
em forma de vértice:
Interpretação didática:
- A forma
diz que a parábola é a função quadrática padrão escalada por fator . O termo desloca o vértice para . O sinal negativo confirma que é um máximo e o coeficiente indica que ela é “mais fechada” que .
Passo 6
Determinar as raízes (interseções com o eixo
). Uso o discriminante
:
Como
, há uma raiz real dupla; a parábola toca o eixo
em um único ponto, que é o vértice. Podemos confirmar a raiz:
- Resolvendo
em forma completada: .
Logo a interseção com o eixoé (raiz dupla).
Passo 7
Interseção com o eixo
(quando
): calculo
:
Então o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 8
Usar simetria para obter outro ponto útil: a parábola é simétrica em relação à reta
. Como
e
é um ponto, o ponto simétrico em relação a
tem abscissa
. Calculo
:
Logo
é simétrico de
. Isso ajuda a desenhar a curva corretamente.
Passo 9
Determinar domínio e imagem (range):
- Domínio: todas as funções quadráticas têm domínio
. - Imagem: como a parábola abre para baixo e o vértice tem
(máximo), a imagem é
Passo 10
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer no papel):
- Marcar o vértice
. - Desenhar a reta de simetria
como guia (opcional, tracejada). - Marcar pontos
e — simétricos — e, se quiser, outros pontos próximos usando para ver a curvatura. - Unir os pontos com uma curva suave em forma de “arco” invertido (máximo em
e caindo para quando ). - Indicar que a parábola toca o eixo
apenas em (raiz dupla).
Resposta
Equação na forma vértice:
Vértice:
Eixo de simetria:
Interseção com o eixo :
(raiz dupla)
Interseção com o eixo :
Pontos simétricos: e
Domínio:
Imagem:
Vértice:
Eixo de simetria:
Interseção com o eixo
Interseção com o eixo
Pontos simétricos:
Domínio:
Imagem: