Esboce os gráficos das funções quadráticas f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas abaixo:
f(x)=-x^{2}-4 x-3

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x) = -x^{2} - 4x - 3.
Informações fornecidas diretamente pelo enunciado:
  • A expressão explícita da função: f(x) = -x^{2} - 4x - 3.
  • Dominio implícito: todos os reais \mathbb{R}.
    O objetivo concreto para o esboço é obter os elementos necessários para desenhar a parábola (vértice, concavidade, interseções com os eixos, eixo de simetria, intervalo de valores) e então desenhar a curva passando por esses pontos.

Passo 2

Observação inicial sobre o coeficiente quadrático (concavidade). A forma padrão da função quadrática é
f(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são números reais.
Na nossa função, comparando termos, temos a=-1, b=-4 e c=-3. O sinal de a determina a concavidade:
  • Se a>0, a parábola abre para cima.
  • Se a<0, a parábola abre para baixo.
    Aqui a=-1<0, portanto a parábola abre para baixo (tem um máximo).

Passo 3

Encontrar o vértice completando o quadrado (método didático passo a passo).
Passo para completar o quadrado: fatorar -1 das partes que envolvem x:
f(x) = -x^{2}-4x-3 = -\bigl(x^{2}+4x\bigr)-3.
Agora completar o quadrado dentro do parêntesis. A fórmula para completar o quadrado em x^{2}+4x é adicionar e subtrair \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}, onde b é o coeficiente de x dentro do parêntesis (aqui b=4):
x^{2}+4x = \bigl(x^{2}+4x+4\bigr)-4 = (x+2)^{2}-4.
Substituindo de volta em f(x):
f(x) = -\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)-3 = -(x+2)^{2}+4-3 = -(x+2)^{2}+1.
Essa é a forma vértice da parábola. A partir dela, o vértice (x_v,y_v) é dado por
x_v = -2,\qquad y_v = 1.
Expliquei: na forma f(x)=a(x-h)^{2}+k, o vértice é (h,k). Aqui temos a=-1, h=-2, k=1.

Passo 4

Eixo de simetria e propriedade dos zeros. O eixo de simetria vertical passa pelo x do vértice, portanto é a reta
x = -2.
Propriedade útil: os zeros (raízes) da parábola, se existirem, são simétricos em relação a essa reta; o x do vértice é a média aritmética das raízes.

Passo 5

Calcular as raízes (interseção com o eixo x). Resolver f(x)=0:
-x^{2}-4x-3=0.
Multiplicando por -1 (para facilitar):
x^{2}+4x+3=0.
Essa quadrática factoriza facilmente: x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3). Logo as raízes são
x=-1\quad\text{e}\quad x=-3.
Portanto os pontos de interseção com o eixo x são (-1,0) e (-3,0). Verificação da simetria: a média \dfrac{-1+(-3)}{2}=-2 coincide com x_v, bom sinal.

Passo 6

Interseção com o eixo y. Avaliar f(0):
f(0) = -0^{2}-4\cdot0 -3 = -3.
Então o ponto de interseção com o eixo y é (0,-3).

Passo 7

Resumo dos pontos-chave para desenhar a parábola:
  • Vértice: (-2,1).
  • Raízes (interseções com x): (-3,0) e (-1,0).
  • Interseção com y: (0,-3).
  • Eixo de simetria: x=-2.
  • Concavidade: para baixo (máximo no vértice).
    Para esboçar: marque o vértice e os três pontos de interseção; desenhe uma curva suave em forma de parábola que passa por esses pontos e é simétrica em relação a x=-2.

Passo 8

Intervalo de variação (imagem) e domínio:
  • Domínio: todos os reais, ou seja \mathbb{R}.
  • Como a parábola abre para baixo e o valor máximo é y_v=1 no vértice, a imagem (contradomínio efetivo) é
(-\infty,\,1].

Passo 9

Dicas rápidas para o esboço à mão (sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos e marque x=-3,-2,-1,0 no eixo x.
  2. Marque os pontos (-3,0), (-1,0), (-2,1) (vértice mais alto) e (0,-3).
  3. Trace a reta de simetria x=-2 como guia.
  4. Faça uma curva suave que passa por (-3,0) e (-1,0), alcança o máximo em (-2,1) e desce à esquerda e à direita conforme concavidade para baixo.

Resposta

Vértice: (-2,1)
Forma vértice: f(x)=-(x+2)^{2}+1
Raízes: (-3,0) e (-1,0)
Interseção com y: (0,-3)
Eixo de simetria: x=-2
Concavidade: abre para baixo ( a=-1)
Domínio: \mathbb{R}
Imagem (contradomínio efetivo): (-\infty,\,1]

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