Esboce os gráficos das funções quadráticas
definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática
dada por
Informações fornecidas diretamente pelo enunciado:
- A expressão explícita da função:
. - Dominio implícito: todos os reais
.
O objetivo concreto para o esboço é obter os elementos necessários para desenhar a parábola (vértice, concavidade, interseções com os eixos, eixo de simetria, intervalo de valores) e então desenhar a curva passando por esses pontos.
Passo 2
Observação inicial sobre o coeficiente quadrático (concavidade). A forma padrão da função quadrática é
onde
,
e
são números reais.
Na nossa função, comparando termos, temos ,
e
. O sinal de
determina a concavidade:
Na nossa função, comparando termos, temos
- Se
, a parábola abre para cima. - Se
, a parábola abre para baixo.
Aqui, portanto a parábola abre para baixo (tem um máximo).
Passo 3
Encontrar o vértice completando o quadrado (método didático passo a passo).
Passo para completar o quadrado: fatorar
das partes que envolvem
:
Agora completar o quadrado dentro do parêntesis. A fórmula para completar o quadrado em
é adicionar e subtrair
, onde
é o coeficiente de
dentro do parêntesis (aqui
):
Substituindo de volta em
:
Essa é a forma vértice da parábola. A partir dela, o vértice
é dado por
Expliquei: na forma
, o vértice é
. Aqui temos
,
,
.
Passo 4
Eixo de simetria e propriedade dos zeros. O eixo de simetria vertical passa pelo
do vértice, portanto é a reta
Propriedade útil: os zeros (raízes) da parábola, se existirem, são simétricos em relação a essa reta; o
do vértice é a média aritmética das raízes.
Passo 5
Calcular as raízes (interseção com o eixo
). Resolver
:
Multiplicando por
(para facilitar):
Essa quadrática factoriza facilmente:
. Logo as raízes são
Portanto os pontos de interseção com o eixo
são
e
. Verificação da simetria: a média
coincide com
, bom sinal.
Passo 6
Interseção com o eixo
. Avaliar
:
Então o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 7
Resumo dos pontos-chave para desenhar a parábola:
- Vértice:
. - Raízes (interseções com
): e . - Interseção com
: . - Eixo de simetria:
. - Concavidade: para baixo (máximo no vértice).
Para esboçar: marque o vértice e os três pontos de interseção; desenhe uma curva suave em forma de parábola que passa por esses pontos e é simétrica em relação a.
Passo 8
Intervalo de variação (imagem) e domínio:
- Domínio: todos os reais, ou seja
. - Como a parábola abre para baixo e o valor máximo é
no vértice, a imagem (contradomínio efetivo) é
Passo 9
Dicas rápidas para o esboço à mão (sem calculadora):
- Desenhe os eixos e marque
no eixo . - Marque os pontos
, , (vértice mais alto) e . - Trace a reta de simetria
como guia. - Faça uma curva suave que passa por
e , alcança o máximo em e desce à esquerda e à direita conforme concavidade para baixo.
Resposta
Vértice:
Forma vértice:
Raízes: e
Interseção com :
Eixo de simetria:
Concavidade: abre para baixo ( )
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):
Forma vértice:
Raízes:
Interseção com
Eixo de simetria:
Concavidade: abre para baixo (
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):