Esboce os gráficos das funções quadráticas f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas abaixo:
f(x)=-2 x^{2}+8 x-6

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x) = -2x^{2} + 8x - 6.
Informações dadas e coisas que preciso obter para esboçar corretamente:
  • Coeficientes: a=-2, b=8, c=-6.
  • O gráfico deve mostrar: concavidade, vértice, eixo de simetria, interceptos com os eixos (raízes e intercepto em y), e alguns pontos auxiliares para traçar a parábola.

Passo 2

Entender a concavidade e o papel de a. Para uma quadrática genérica ax^{2}+bx+c:
  • Se a>0 a parábola abre para cima.
  • Se a<0 a parábola abre para baixo.
    Aqui a=-2<0, portanto a parábola abre para baixo (tem um máximo no vértice). Isso já nos dá a forma geral: um “∩” invertido.

Passo 3

Encontrar o vértice usando a fórmula do vértice. A abscissa do vértice é
x_{v} = -\dfrac{b}{2a}.
Substituindo a=-2 e b=8:
x_{v} = -\dfrac{8}{2\cdot(-2)} = -\dfrac{8}{-4} = 2.
Agora calculo a ordenada do vértice y_{v}=f(x_{v}):
f(2) = -2\cdot 2^{2} + 8\cdot 2 -6 = -2\cdot 4 +16 -6 = -8 +16 -6 = 2.
Portanto o vértice é (2,2). Isso significa que o ponto mais alto da parábola é (2,2).

Passo 4

Verificar o resultado escrevendo a função na forma de vértice (completando o quadrado). Começo fatorando a dos termos quadrático e linear:
f(x) = -2\bigl(x^{2}-4x\bigr) -6.
Completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-4x = (x-2)^{2} - 4. Então
f(x) = -2\bigl((x-2)^{2} -4\bigr) -6.
Distribuindo:
f(x) = -2(x-2)^{2} +8 -6 = -2(x-2)^{2} +2.
Essa forma confirma que o vértice é (2,2) e que o coeficiente de (x-2)^{2} é -2, reforçando que abre para baixo.

Passo 5

Calcular as raízes (interseções com o eixo x). Uso a fórmula quadrática ou discriminante. O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = 8^{2} - 4\cdot(-2)\cdot(-6) = 64 - 48 = 16.
Como \Delta>0 há duas raízes reais. Elas são
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-8 \pm 4}{2\cdot(-2)}.
Calculo cada uma:
x_{1} = \dfrac{-8+4}{-4} = \dfrac{-4}{-4} = 1, \qquad x_{2} = \dfrac{-8-4}{-4} = \dfrac{-12}{-4} = 3.
Logo as raízes (pontos onde cruza o eixo x) são (1,0) e (3,0).

Passo 6

Intercepto com o eixo y. É o valor f(0):
f(0) = -6,
logo o intercepto em y é o ponto (0,-6).

Passo 7

Usar simetria para obter pontos auxiliares. O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
\text{eixo de simetria: } x = 2.
Pelo fato da simetria, o ponto simétrico de (0,-6) em relação a x=2 é (4,-6) (porque 2 está à distância 2 de 0 e de 4). Já temos os pontos essenciais para esboçar: vértice (2,2), raízes (1,0) e (3,0), intercepto (0,-6) e seu simétrico (4,-6). Esses pontos definem bem a forma da parábola que abre para baixo.

Passo 8

Como esboçar (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o ponto x=2 (eixo de simetria).
  2. Marque o vértice (2,2).
  3. Marque as raízes (1,0) e (3,0).
  4. Marque o intercepto em y (0,-6) e o ponto simétrico (4,-6).
  5. Ligando suavemente esses pontos com uma curva em forma de “∩” (máximo em (2,2)) obtém-se o esboço da parábola. A curva passa por (1,0) e (3,0), atinge máximo em (2,2) e desce até (0,-6) e (4,-6).

Resposta

Vértice: (2,2)
Concavidade: abre para baixo (pois a=-2<0)
Eixo de simetria: x=2
Raízes: x=1 e x=3 (pontos (1,0) e (3,0))
Intercepto em y: (0,-6)

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