Esboce os gráficos das funções quadráticas
definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função quadrática
dada por
Informações dadas e coisas que preciso obter para esboçar corretamente:
- Coeficientes:
, , . - O gráfico deve mostrar: concavidade, vértice, eixo de simetria, interceptos com os eixos (raízes e intercepto em
), e alguns pontos auxiliares para traçar a parábola.
Passo 2
Entender a concavidade e o papel de
. Para uma quadrática genérica
:
- Se
a parábola abre para cima. - Se
a parábola abre para baixo.
Aqui, portanto a parábola abre para baixo (tem um máximo no vértice). Isso já nos dá a forma geral: um “∩” invertido.
Passo 3
Encontrar o vértice usando a fórmula do vértice. A abscissa do vértice é
Substituindo
e
:
Agora calculo a ordenada do vértice
:
Portanto o vértice é
. Isso significa que o ponto mais alto da parábola é
.
Passo 4
Verificar o resultado escrevendo a função na forma de vértice (completando o quadrado). Começo fatorando
dos termos quadrático e linear:
Completo o quadrado dentro do parêntese:
. Então
Distribuindo:
Essa forma confirma que o vértice é
e que o coeficiente de
é
, reforçando que abre para baixo.
Passo 5
Calcular as raízes (interseções com o eixo
). Uso a fórmula quadrática ou discriminante. O discriminante é
Como
há duas raízes reais. Elas são
Calculo cada uma:
Logo as raízes (pontos onde cruza o eixo
) são
e
.
Passo 6
Intercepto com o eixo
. É o valor
:
logo o intercepto em
é o ponto
.
Passo 7
Usar simetria para obter pontos auxiliares. O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
Pelo fato da simetria, o ponto simétrico de
em relação a
é
(porque
está à distância
de
e de
). Já temos os pontos essenciais para esboçar: vértice
, raízes
e
, intercepto
e seu simétrico
. Esses pontos definem bem a forma da parábola que abre para baixo.
Passo 8
Como esboçar (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e e marque o ponto (eixo de simetria). - Marque o vértice
. - Marque as raízes
e . - Marque o intercepto em
e o ponto simétrico . - Ligando suavemente esses pontos com uma curva em forma de “∩” (máximo em
) obtém-se o esboço da parábola. A curva passa por e , atinge máximo em e desce até e .
Resposta
Vértice:
Concavidade: abre para baixo (pois )
Eixo de simetria:
Raízes: e
(pontos
e
)
Intercepto em :
Concavidade: abre para baixo (pois
Eixo de simetria:
Raízes:
Intercepto em