Esboce os gráficos das seguintes funções:
(i) f(t)=-x^2-2 x-1

Passo 1

Temos a função f(x)=-x^2-2x-1. O conteúdo aqui é estudo de funções quadráticas (parábolas). Para esboçar o gráfico, vamos precisar escrever a função em forma canônica, identificar vértice, eixo de simetria e interceptos.

Passo 2

Vamos completar o quadrado para reescrever f(x) na forma canônica. Começamos com
f(x)=-x^2-2x-1=-(x^2+2x+1)=-(x+1)^2

Passo 3

Da forma -(x+1)^2 já vemos que o vértice da parábola é o ponto (-1,0) e que ela é côncava para baixo (coeficiente líder negativo). O eixo de simetria é a reta x=-1.

Passo 4

Agora encontramos os interceptos com os eixos. Para x=0 temos
f(0)=-0^2-2cdot0-1=-1,
ou seja intercepto em (0,-1). Para o eixo x resolvemos
-x^2-2x-1=0iff(x+1)^2=0iff x=-1,
que é raiz dupla em (-1,0).

Passo 5

Para melhorar o esboço, calculamos mais dois pontos simétricos:
f(-2)=-(-2)^2-2(-2)-1=-4+4-1=-1,
f(1)=-(1)^2-2cdot1-1=-1-2-1=-4

Passo 6

Agora é só desenhar: marque o vértice (-1,0), o intercepto em (0,-1) e os pontos (-2,-1) e (1,-4). Una-os formando uma parábola invertida simétrica em torno de x=-1.

Resposta

Parábola invertida com vértice em (-1,0), eixo de simetria x=-1, intercepto em y em (0,-1) e raiz dupla em (-1,0).

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