Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede que, para a função quadrática
, eu:
- esboce o gráfico (mostrando os pontos importantes para desenhar);
- determine o domínio;
- determine a imagem.
Informação dada: a própria fórmula da função
.
Passo 2
Primeira observação útil: o coeficiente de
é
(negativo).
Isso nos diz o formato básico do gráfico:
Isso nos diz o formato básico do gráfico:
- Uma função quadrática
com é uma parábola que abre para baixo (tem um máximo). - Com isso já sabemos que a imagem será um intervalo do tipo
, onde é o valor máximo (a ordenada do vértice).
Passo 3
Vamos encontrar o vértice usando completar o quadrado — técnica muito prática para achar vértice e escrever a parábola na forma vértice.
Começo por escrever a função e fatorar o
dos termos quadrático e linear:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Distribuindo o sinal negativo:
Logo
Essa é a forma vértice:
.
Dela lemos diretamente que o vértice é o ponto (coordenada
e
). Como a parábola abre para baixo, esse vértice é o ponto de máximo, com valor máximo
.
Dela lemos diretamente que o vértice é o ponto
Passo 4
A equação do eixo de simetria (reta vertical que passa pelo vértice) é
Isso significa que o gráfico é simétrico em torno da reta
.
Passo 5
Agora determinamos os interceptos (pontos que ajudam no esboço).
Intercepto em
(quando
):
Portanto o ponto
é o intercepto com o eixo
.
Interceptos em
(raízes): resolvemos
. Multiplicando por
:
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
Como
existem duas raízes reais:
Assim os interceptos em
são
e
. Em valores aproximados (para ajudar no desenho):
Passo 6
Como esboçar o gráfico (passo a passo para fazer à mão na prova):
- Marque o vértice
. - Desenhe a reta de simetria
(apenas como guia, traço fino). - Marque os interceptos: com o eixo
em e com o eixo em e . - Como a parábola abre para baixo e o vértice é o máximo, desenhe uma curva suave que passa por esses pontos e seja simétrica em relação a
.
Pontos-chave para o esboço: vértice
, interceptos em
e
, e abertura para baixo. Com esses elementos o esboço fica correto e suficiente para prova.
Passo 7
Domínio e imagem — raciocínio final:
-
Domínio: toda função polinomial (como quadrática) está definida para todo
. Portanto o domínio é . -
Imagem: como a parábola abre para baixo e o vértice fornece o valor máximo
, todos os valores de alcançados são menores ou iguais a . Assim a imagem é o intervalo .