Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
f(x)=-x^{2}-4 x-2

Passo 1

O enunciado pede que, para a função quadrática f(x)=-x^{2}-4x-2, eu:
  • esboce o gráfico (mostrando os pontos importantes para desenhar);
  • determine o domínio;
  • determine a imagem.
Informação dada: a própria fórmula da função \,f(x)=-x^{2}-4x-2.

Passo 2

Primeira observação útil: o coeficiente de x^{2} é -1 (negativo).
Isso nos diz o formato básico do gráfico:
  • Uma função quadrática ax^{2}+bx+c com a<0 é uma parábola que abre para baixo (tem um máximo).
  • Com isso já sabemos que a imagem será um intervalo do tipo (-\infty, M], onde M é o valor máximo (a ordenada do vértice).

Passo 3

Vamos encontrar o vértice usando completar o quadrado — técnica muito prática para achar vértice e escrever a parábola na forma vértice.
Começo por escrever a função e fatorar o -1 dos termos quadrático e linear:
f(x) = -x^{2}-4x-2 = -\bigl(x^{2}+4x\bigr)-2.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4. Substituindo:
f(x) = -\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)-2.
Distribuindo o sinal negativo:
f(x) = -(x+2)^{2} +4 -2.
Logo
f(x) = -(x+2)^{2} +2.
Essa é a forma vértice: f(x)=-(x+2)^{2}+2.
Dela lemos diretamente que o vértice é o ponto \bigl(-2,\,2\bigr) (coordenada x=-2 e y=2). Como a parábola abre para baixo, esse vértice é o ponto de máximo, com valor máximo 2.

Passo 4

A equação do eixo de simetria (reta vertical que passa pelo vértice) é
x=-2.
Isso significa que o gráfico é simétrico em torno da reta x=-2.

Passo 5

Agora determinamos os interceptos (pontos que ajudam no esboço).
Intercepto em y (quando x=0):
f(0) = -0^{2}-4\cdot0-2 = -2.
Portanto o ponto (0,-2) é o intercepto com o eixo y.
Interceptos em x (raízes): resolvemos -x^{2}-4x-2=0. Multiplicando por -1:
x^{2}+4x+2=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot1\cdot2 = 16-8 = 8.
Como \Delta>0 existem duas raízes reais:
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4\pm\sqrt{8}}{2} = \frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2} = -2\pm\sqrt{2}.
Assim os interceptos em x são x=-2-\sqrt{2} e x=-2+\sqrt{2}. Em valores aproximados (para ajudar no desenho):
-2-\sqrt{2}\approx -3,414\quad\text{e}\quad -2+\sqrt{2}\approx -0,586.

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo para fazer à mão na prova):
  1. Marque o vértice (-2,2).
  2. Desenhe a reta de simetria x=-2 (apenas como guia, traço fino).
  3. Marque os interceptos: com o eixo y em (0,-2) e com o eixo x em (-2-\sqrt{2},0) e (-2+\sqrt{2},0).
  4. Como a parábola abre para baixo e o vértice é o máximo, desenhe uma curva suave que passa por esses pontos e seja simétrica em relação a x=-2.
Pontos-chave para o esboço: vértice (-2,2), interceptos em x e y, e abertura para baixo. Com esses elementos o esboço fica correto e suficiente para prova.

Passo 7

Domínio e imagem — raciocínio final:
  • Domínio: toda função polinomial (como quadrática) está definida para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio é \mathbb{R}.
  • Imagem: como a parábola abre para baixo e o vértice fornece o valor máximo y=2, todos os valores de y alcançados são menores ou iguais a 2. Assim a imagem é o intervalo (-\infty,2].

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,2]

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