Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função dada:
- Esboçar o gráfico de
. - Determinar o domínio e a imagem dessa função.
Informações explícitas da função (peguei direto do enunciado):
- Coeficiente quadrático:
. - Coeficiente linear:
. - Termo constante:
.
Passo 2
Vamos escrever
na forma de vértice (completando o quadrado). Isso facilita ver o vértice e o máximo/mínimo da parábola.
Começo fatorando
dos termos quadráticos e lineares:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para
, o termo a adicionar e subtrair é
. Assim:
Substituo de volta:
Distribuo o
e simplifico os constantes:
Então a forma de vértice é
Passo 3
Interpretação da forma de vértice (explicando o que cada coisa significa):
- A expressão está em
com , e . - O ponto
é o vértice da parábola. - O sinal de
determina a concavidade: como , a parábola é côncava para baixo, logo o vértice é um ponto de máximo. O valor máximo de é .
Passo 4
Encontrar as raízes (pontos onde
) — isso ajuda no esboço. Uso a fórmula de Bhaskara (a explicação: as raízes de
são
, onde o discriminante
indica se as raízes são reais):
Calculo o discriminante:
Calculo o discriminante:
Como
, há duas raízes reais e distintas. Calculando:
As duas soluções são
Portanto as interseções com o eixo
são
e
.
Passo 5
Outros pontos úteis para o esboço:
- Interseção com o eixo
: , ponto . - Simetria: como a parábola tem eixo de simetria
, os pontos e são simétricos em relação ao eixo. Verifico , então também está no gráfico. - Vértice já obtido:
.
Tabela rápida de pontos para desenhar (útil na prova para esboçar):
Passo 6
Como esboçar (passo a passo prático):
- Marque o eixo de simetria vertical
. - Coloque o vértice em
— é o ponto mais alto da parábola. - Marque as raízes
e e o ponto (e, se quiser, para simetria). - Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, abrindo para baixo (concavidade para baixo) com o vértice no topo.
Dica: ligar os pontos de forma simétrica em relação apara garantir que o esboço fique correto.
Passo 7
Resumo dos dados calculados (sem repetir o bloco final de resposta):
- Vértice:
. - Abertura: côncava para baixo (
). - Raízes:
e . - Interseção com
: .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: