Esboce os gráficos das seguintes funções quadráticas, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
f(x)=-2 x^{2}+6 x-4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função dada:
  • Esboçar o gráfico de f(x)=-2 x^{2}+6 x-4.
  • Determinar o domínio e a imagem dessa função.
Informações explícitas da função (peguei direto do enunciado):
  • Coeficiente quadrático: a=-2.
  • Coeficiente linear: b=6.
  • Termo constante: c=-4.

Passo 2

Vamos escrever f(x) na forma de vértice (completando o quadrado). Isso facilita ver o vértice e o máximo/mínimo da parábola.
Começo fatorando a=-2 dos termos quadráticos e lineares:
f(x)=-2x^{2}+6x-4 = -2\bigl(x^{2}-3x\bigr)-4.
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para x^{2}-3x, o termo a adicionar e subtrair é \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}. Assim:
x^{2}-3x = \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}.
Substituo de volta:
f(x) = -2\left[\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}\right]-4.
Distribuo o -2 e simplifico os constantes:
f(x) = -2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2} + 2\cdot\dfrac{9}{4} -4 = -2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2} + \dfrac{9}{2} - \dfrac{8}{2} = -2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2} + \dfrac{1}{2}.
Então a forma de vértice é
f(x) = -2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2} + \dfrac{1}{2}.

Passo 3

Interpretação da forma de vértice (explicando o que cada coisa significa):
  • A expressão está em f(x)=a(x-h)^{2}+k com a=-2, h=\dfrac{3}{2} e k=\dfrac{1}{2}.
  • O ponto (h,k)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right) é o vértice da parábola.
  • O sinal de a determina a concavidade: como a=-2<0, a parábola é côncava para baixo, logo o vértice é um ponto de máximo. O valor máximo de f é k=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Encontrar as raízes (pontos onde f(x)=0) — isso ajuda no esboço. Uso a fórmula de Bhaskara (a explicação: as raízes de ax^{2}+bx+c=0 são \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, onde o discriminante \Delta=b^{2}-4ac indica se as raízes são reais):
Calculo o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot(-2)\cdot(-4) = 36 - 32 = 4.
Como \Delta=4>0, há duas raízes reais e distintas. Calculando:
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-6\pm 2}{2\cdot(-2)}.
As duas soluções são
x_{1}=\dfrac{-6+2}{-4}=\dfrac{-4}{-4}=1, \qquad x_{2}=\dfrac{-6-2}{-4}=\dfrac{-8}{-4}=2.
Portanto as interseções com o eixo x são (1,0) e (2,0).

Passo 5

Outros pontos úteis para o esboço:
  • Interseção com o eixo y: f(0)=c=-4, ponto (0,-4).
  • Simetria: como a parábola tem eixo de simetria x=h=\dfrac{3}{2}, os pontos (0,-4) e (3,-4) são simétricos em relação ao eixo. Verifico f(3)=-2\cdot 9 +18 -4 = -4, então (3,-4) também está no gráfico.
  • Vértice já obtido: \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right).
Tabela rápida de pontos para desenhar (útil na prova para esboçar):
(0,-4),\\ (1,0),\\ \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\right),\\ (2,0),\\ (3,-4).

Passo 6

Como esboçar (passo a passo prático):
  1. Marque o eixo de simetria vertical x=\dfrac{3}{2}.
  2. Coloque o vértice em \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right) — é o ponto mais alto da parábola.
  3. Marque as raízes (1,0) e (2,0) e o ponto (0,-4) (e, se quiser, (3,-4) para simetria).
  4. Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, abrindo para baixo (concavidade para baixo) com o vértice no topo.
    Dica: ligar os pontos de forma simétrica em relação a x=\tfrac{3}{2} para garantir que o esboço fique correto.

Passo 7

Resumo dos dados calculados (sem repetir o bloco final de resposta):
  • Vértice: \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right).
  • Abertura: côncava para baixo ( a=-2).
  • Raízes: x=1 e x=2.
  • Interseção com y: (0,-4).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,\tfrac{1}{2}]

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